The approximate degree of a Boolean function f is the least degree of a real polynomial that approximates f pointwise to error at most 1/3. Approximate degree is known to be a lower bound on quantum query complexity. We resolve or nearly resolve the approximate degree and quantum query complexities of the following basic functions: $\bullet$ $k$-distinctness: For any constant $k$, the approximate degree and quantum query complexity of $k$-distinctness is $\Omega(n^{3/4-1/(2k)})$. This is nearly tight for large $k$ (Belovs, FOCS 2012). $\bullet$ Image size testing: The approximate degree and quantum query complexity of testing the size of the image of a function $[n] \to [n]$ is $\tilde{\Omega}(n^{1/2})$. This proves a conjecture of Ambainis et al. (SODA 2016), and it implies the following lower bounds: $-$ $k$-junta testing: A tight $\tilde{\Omega}(k^{1/2})$ lower bound, answering the main open question of Ambainis et al. (SODA 2016). $-$ Statistical Distance from Uniform: A tight $\tilde{\Omega}(n^{1/2})$ lower bound, answering the main question left open by Bravyi et al. (STACS 2010 and IEEE Trans. Inf. Theory 2011). $-$ Shannon entropy: A tight $\tilde{\Omega}(n^{1/2})$ lower bound, answering a question of Li and Wu (2017). $\bullet$ Surjectivity: The approximate degree of the Surjectivity function is $\tilde{\Omega}(n^{3/4})$. The best prior lower bound was $\Omega(n^{2/3})$. Our result matches an upper bound of $\tilde{O}(n^{3/4})$ due to Sherstov, which we reprove using different techniques. The quantum query complexity of this function is known to be $\Theta(n)$ (Beame and Machmouchi, QIC 2012 and Sherstov, FOCS 2015). Our upper bound for Surjectivity introduces new techniques for approximating Boolean functions by low-degree polynomials. Our lower bounds are proved by significantly refining techniques recently introduced by Bun and Thaler (FOCS 2017).


翻译:Boolean 函数的近似度是实际的多元值的最小度, 大约在1/3美元时差错。 已知的近度是量子查询复杂性的较低。 我们解决或几乎解决以下基本函数的近度和量子查询复杂性 : 对于任何恒定美元来说, 美元的近度和量度查询复杂性是 $mega (n ⁇ 3/4-1/ (2k) 美元 。 这对大美元来说是接近的 美元 3 。 (Belovs, FOCS). $balllet 图像大小测试: 测试一个函数 $n] 和量子查询的大约度和量数 。 对于任何恒定美元来说, 大约的度和量查询的复杂度是 美元 美元 (SO3/4 美元) 。 这证明了 美元和 美元 2015 (SOATA) 和 美元 美元 的默认问题。 它意味着以下的下限值 : 美元测试: 美元 美元 美元 美元 和 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 内端端点 。

0
下载
关闭预览

相关内容

IEEE计算机科学基础研讨会(FOCS)是由IEEE计算机学会计算数学基础技术委员会(TCMF)主办的旗舰会议,涵盖了广泛的理论计算机科学。它每年秋季举行,并与每年春季举行的由ACM SIGACT赞助的姊妹会议——计算理论年度研讨会(STOC)配对。官网链接:http://ieee-focs.org/
开源书:PyTorch深度学习起步
专知会员服务
49+阅读 · 2019年10月11日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
89+阅读 · 2019年10月10日
LeetCode的C++ 11/Python3 题解及解释
专知
16+阅读 · 2019年4月13日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
41+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
15+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
单线程cpu1小时收敛的赛车自动驾驶训练
CreateAMind
5+阅读 · 2017年7月24日
强化学习 cartpole_a3c
CreateAMind
9+阅读 · 2017年7月21日
Arxiv
3+阅读 · 2018年10月18日
VIP会员
相关VIP内容
开源书:PyTorch深度学习起步
专知会员服务
49+阅读 · 2019年10月11日
机器学习入门的经验与建议
专知会员服务
89+阅读 · 2019年10月10日
相关资讯
LeetCode的C++ 11/Python3 题解及解释
专知
16+阅读 · 2019年4月13日
Unsupervised Learning via Meta-Learning
CreateAMind
41+阅读 · 2019年1月3日
A Technical Overview of AI & ML in 2018 & Trends for 2019
待字闺中
15+阅读 · 2018年12月24日
disentangled-representation-papers
CreateAMind
26+阅读 · 2018年9月12日
【论文】变分推断(Variational inference)的总结
机器学习研究会
39+阅读 · 2017年11月16日
单线程cpu1小时收敛的赛车自动驾驶训练
CreateAMind
5+阅读 · 2017年7月24日
强化学习 cartpole_a3c
CreateAMind
9+阅读 · 2017年7月21日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员