Flip graphs are a ubiquitous class of graphs, which encode relations induced on a set of combinatorial objects by elementary, local changes. Skeletons of associahedra, for instance, are the graphs induced by quadrilateral flips in triangulations of a convex polygon. For some definition of a flip graph, a natural computational problem to consider is the flip distance: Given two objects, what is the minimum number of flips needed to transform one into the other? We consider flip graphs on orientations of simple graphs, where flips consist of reversing the direction of some edges. More precisely, we consider so-called $\alpha$-orientations of a graph $G$, in which every vertex $v$ has a specified outdegree $\alpha(v)$, and a flip consists of reversing all edges of a directed cycle. We prove that deciding whether the flip distance between two $\alpha$-orientations of a planar graph $G$ is at most two is \NP-complete. This also holds in the special case of perfect matchings, where flips involve alternating cycles. This problem amounts to finding geodesics on the common base polytope of two partition matroids, or, alternatively, on an alcoved polytope. It therefore provides an interesting example of a flip distance question that is computationally intractable despite having a natural interpretation as a geodesic on a nicely structured combinatorial polytope. We also consider the dual question of the flip distance betwe en graph orientations in which every cycle has a specified number of forward edges, and a flip is the reversal of all edges in a minimal directed cut. In general, the problem remains hard. However, if we restrict to flips that only change sinks into sources, or vice-versa, then the problem can be solved in polynomial time. Here we exploit the fact that the flip graph is the cover graph of a distributive lattice. This generalizes a recent result from Zhang, Qian, and Zhang.


翻译:翻转图是一个无处不在的图表级。 翻转图是一个无处不在的图形级, 它将一系列组合对象的翻转图以基本的、 本地的变换方式编码。 例如, Asociahedra 的Skeleton 是一个图形的四边翻转图。 在调转图的三角形中, 每个顶端的美元都有一定的外度 $\alpha(v) 美元, 而一个翻转是需要考虑翻转周期的所有边缘的自然计算问题。 在两个对象中, 将一个最小的翻转图数转换成另一个方向的? 我们考虑简单的图形方向上的翻转动图, 其中翻转图包括一些边缘方向。 更准确地说, 直径的平面的平面平面的平面平面方向上, 直径直到平面的平面的平面上, 直径直的平面的平面的平面的平面上, 直面的平面的平面的平面的平面上, 直面的平面上, 直面的平面的平面的平面的平面的平面, 直面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面,,,, 直面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面的平面,,,, 直。

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