拉马努金，给世界留下了璀璨的瑰宝

2018 年 12 月 28 日 中科院物理所

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“我没有遵循大学里的常规课程，但我正在为自己开辟一条新的道路。”

1913年1月，拉马努金（Srinivasa Ramanujan）在一封信中，向备受尊敬的英国著名数学家哈代（Godfrey Harold Hardy）这样介绍自己。

拉马努金于1887年出生在一个距离马德拉斯（现在的金奈）约400公里的小村庄里，很早的时候，他就对数学产生了浓厚的兴趣。到15岁时，他已经常能解决一些远远超出同龄人正试图处理的数学问题。例如，他发明了自己独有的求解四次方程的方法，甚至尝试过求解五次方程（当然结果虽然失败了，因为一般五次方程是不可解的）。拉马努金忽视了数学以外的所有其他学科，他从未上过大学，只能独自一人在贫困中继续钻研数学。

○ 拉马努金在32岁的时候去世，并留下了三本写满了公式的笔记本。在他短暂的一生中，他在组合学、数论和特殊函数领域发表了30篇论文。

在给剑桥大学的哈代写信时，他正在印度的一家港务局工作。接下来发生的则是一个鼓舞人心的故事——一个未经训练的天才成为了他的时代中最伟大的数学天才之一。

在哈代的邀请之下，拉马努金于1914年3月17日启航前往英国剑桥，开始了数学史上最迷人的一段合作。

数学家（也是一部关于拉马努金的电影《知无涯者》的顾问兼副制片人）Ken Ono说：“拉马努金是可能性的榜样。（他的故事证明）你可以从极其困难的条件或环境中走出来，成为一个重要的人。但他需要帮助，他需要哈代。而哈代并不是一个完美的导师，他是个脾气乖戾的人，他不喜欢别人。但在他的帮助下，这一切发生了。”

○ 电影《知无涯者》讲述了拉马努金和哈代之间的故事。

拉马努金在抵达剑桥后，他和哈代一起研究了一系列的数学问题。起初，由于拉马努金并没有受过多少正规的训练，因此他有着一套其他数学家从未见过的数学写作方法。

在剑桥期间，拉马努金很快学习了很多正规的数学，从一个业余爱好者到写出了世界级的数学论文。

Ono说：“拉马努金没有使用世界上其他人都在用的符号。刚到英国时，他对现代数学一无所知，总是在犯错。很快，在一两年内，他就接受了正式的训练。他很聪明，所以能很快赶上来。他在英国写的论文，按各种专业标准来看，都是世界级的论文。这也证明了他是多么有天赋。”

在拉马努金与哈代合写的论文中，其中有一篇震惊了整个数学界，这篇论文为困扰了数学家几个世纪的整数分拆，提供了一种可靠的计算方法。正是因为这篇论文，拉马努金才被提名为皇家学会会员。（对于任何科学家来说，能够当选皇家学会会员都是至高的荣誉。）当时，一些伟大的数学家都签署了他的提名，包括J. E. Littlewood、Alfred Whitehead、哈代以及很多其他人。1918年5月2日，年仅30岁的拉马努金被评选为英国皇家学会会员，成为有史以来最年轻的会员之一。

○ 拉马努金被提名为皇家学会会员的证明。

分拆数的概念非常简单。你可以把任何自然数写成自然数之和。例如，3可以用三种不同的方式写成自然数之和：

数字4可以用五种不同的方式写成自然数之和：

分拆数P(n)是数字n可被写成自然数之和的方式的数量（不考虑它们相加的顺序）。正如我们刚才看到的：P(3)=3，P(4)=5。

看起来，将一个数字n写成自然数之和，然后再数一数共有多少种方式，似乎是很简单的事。但事实上，随着n的变大，情况很快就无法掌控。也许你可以自己算出 P(5)=7，P(6) =11，但是再往下，你很快就会用光所有的草稿纸。下面的表格显示了直到 P(10)=42 的分拆数，这个数字已经非常大了。

可以看出，随着n从1增加到10，分拆数P(n)随n的增加呈指数增长。

这使数学家们不禁想知道，是否存在一种无需将每一种n写成自然数之和的方式都一一列举，就能计算分拆数P(n)的方法。在研究这个问题时，哈代、拉马努金与被誉为“人类计算器”的Percy MacMahon一起工作，MacMahon计算了许多数字的分拆数的表格。

尽管乍看之下，这些表格似乎毫无规律和道理，但拉马努金注意到了其中的有趣模式。

他发现并证明了，对4、9、14… 或者任何其他形式为n=5k+4的数字，它们的分拆数总是能被5整除。类似地，任何形式为n=7k+5的数字的分拆数都能被7整除；任何形式为n=11k+6的数字的分拆数都能被11整除。现在，这些模式被称为拉马努金同余式（Ramanujan's congruences）。

帮助拉马努金获得皇家学会奖学金的是他与哈代共同发现的分拆数的渐近式。这个公式不能给出分拆数P(n)的精确值，但是非常接近。随着n增大，P(n)和渐近式之间的差异会变得任意小。这个公式是：

哈代和拉马努金将公式右边给出的w(n)值与MacMahon计算出的P(n)值进行比较：

从结果看来这个公式是与预期相符的。Ono说：“它适用于所有的n，你只需要将n代入公式就能得到答案。能找出这样一条捷径使得我们无需再一个个数的人，必定是极致聪明的。”

Ono说：“当时，这被认为是一个无法解决的问题。我相当肯定的是，正是这个公式很大程度地决定了他的当选。但毫无疑问，这个公式现在只是拉马努金的数学遗产的很小一部分。”

这份数学遗产确实值得惊叹：与拉马努金的工作相关的有计算机科学、电气工程、物理，当然还有数学等各个领域。Ono表示，拉马努金的公式掀开了一些他自己无法构建出的理论的一角。那是些不被需要的理论——直到被人们需要。例如，一些关于黑洞的研究就用到了拉马努金的一些数学。但拉马努金在世时，人们甚至不知道黑洞的存在。但他已经发展了一些最初的可以用来解释黑洞性质的公式。令人惊叹的是，类似的事情不止发生过一次（比如，拉马努金的工作还影响了弦理论、月光、拓扑不变量的发展等等）。

Ono说他不是一个轻易使用“天才”这个词的人，但他认为拉马努金就是一个天才：“如果你写下一些你认为美丽而重要的公式，直到几十年后才有人知道这些公式为什么重要 …… 这是相当精神性的东西。”

2018年10月15-16日，皇家学会在伦敦举办了一场科学研讨会，以纪念拉马努金当选学会会员100周年。他们邀请了众多杰出的科学家来介绍拉马努金的数学成就，以及这些结果对计算机科学、电气工程、数学和物理等许多领域的发展产生的深远影响（感兴趣的读者可以阅读参考链接[3]）。

参考链接：

[1] https://plus.maths.org/content/celebrating-ramanujan

[2] https://plus.maths.org/content/happy-birthday-ramanujan

[3] https://royalsociety.org/science-events-and-lectures/2018/10/srinivasa-ramanujan/#

来源：原理