漫画：图的 “多源” 最短路径

来自：程序员小灰（微信号：chengxuyuanxiaohui）

—————  第二天  —————

小灰的思路如下：

第一步，利用迪杰斯特拉算法的距离表，求出从顶点A出发，到其他各个顶点的最短距离：

第二步，继续使用迪杰斯特拉算法，求出从顶点B出发，到其他各个顶点的最短距离。

第三步，从顶点C出发，到各个顶点的最短距离。

第四步，从顶点D出发......

.......

就像这样，一直遍历到顶点G。

这个思路的时间复杂度是多少呢？

假如图中有n个顶点，如果不考虑堆优化，一次迪杰斯特拉算法的时间复杂度是O（n^2）。所以，把每一个顶点都计算一遍，总的时间复杂度是O（n^3）。

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举一个栗子：

上图的顶点A和顶点C没有直接相连的边，它们之间的直接距离是无穷大。

如果以B作为“中继顶点”，此时A到C的最短路径就是A-B-C，最短距离是3+2=5。

再举一个栗子：

上图的顶点A和顶点C直接相连，距离是6。但是存在一条“迂回”路径A-B-C，距离是3+2=5<6。

所以，经过中继顶点B，从A到C的最短距离可以是5。

下面我们来看一看Floyd算法的详细步骤。

1.要实现Floyd算法，首先需要构建带权图的邻接矩阵：

在邻接矩阵当中，每一个数字代表着从某个顶点到另一个顶点的直接距离，这个距离是没有涉及到任何中继顶点的。

2.此时假定只允许以顶点A作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

B和C之间的距离原本是无穷大，此时以A为中继，距离缩短为AB距离+AC距离=

5+2=7。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点A到其他顶点的临时距离）：

3.接下来以顶点A、B作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

A和D之间的距离原本是无穷大，此时以B为中继，距离缩短为AB距离+BD距离=5+1=6。

A和E之间的距离原本是无穷大，此时以B为中继，距离缩短为AB距离+BE距离=5+6=11。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点B到其他顶点的临时距离）：

4.接下来以顶点A、B、C作为中继顶点，那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢？

A和F之间的距离原本是无穷大，此时以C为中继，距离缩短为AC距离+CF距离=2+8=10。

更新对应矩阵元素（橙色区域代表顶点C到其他顶点的临时距离）：

.........

.........

以此类推，我们不断引入新的中继顶点，不断刷新矩阵中的临时距离。

最终，当所有顶点都可以作为中继顶点时，我们的距离矩阵更新如下：

此时，矩阵中每一个元素，都对应着某顶点到另一个顶点的最短距离。

为什么这么说呢？让我们回顾一下动态规划的两大要素：

问题的初始状态
问题的状态转移方程式

对于寻找图的所有顶点之间距离的问题，初始状态就是顶点之间的直接距离，也就是邻接矩阵。

而问题的状态转移方程式又是什么呢？

假设新引入的中继顶点是n，那么：

顶点i 到 顶点j 的新距离 = Min（顶点i 到 顶点j 的旧距离，顶点i 到 顶点n 的距离+顶点n 到 顶点j 的距离）

final static int INF = Integer.MAX_VALUE;

public static void floyd(int[][] matrix){
 //循环更新矩阵的值
 for(int k=0; k<matrix.length; k++){
 for(int i=0; i<matrix.length; i++){
 for(int j=0; j<matrix.length; j++){
 if(matrix[i][k] == INF || matrix[k][j] == INF) {
 continue;
 }
 matrix[i][j] = Math.min(matrix[i][j], matrix[i][k] + matrix[k][j]);
 }
 }
 }
 // 打印floyd最短路径的结果
 System.out.printf("最短路径矩阵: 
");
 for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
 for (int j = 0; j < matrix.length; j++)
 System.out.printf("%3d ", matrix[i][j]);
 System.out.printf("
");
 }
}

public static void main(String[] args) {
 int[][] matrix = {
 {0, 5, 2, INF, INF, INF, INF},
 {5, 0, INF, 1, 6, INF, INF},
 {2, INF, 0, 6, INF, 8, INF},
 {INF, 1, 6, 0, 1, 2, INF},
 {INF, 6, INF, 1, 0, INF, 7},
 {INF, INF, 8, 2, INF, 0, 3},
 {INF, INF, INF, INF, 7, 3, 0}
 };
 floyd(matrix);
}

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