合格的数学爱好者，首先要是一个解题高手

[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水

心如止水，Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来

昨天在做《数学分析解题指南》，某个公式忘记了，怎么样也想不起来，就去群里问了一下，有位同志说：

我很赞同他的说法，但这不禁让我想起了关于关于数学教育的一个问题：进行大量的解题训练是必要的吗？

▌合格的数学爱好者，首先要是一个解题高手

不知道从什么时候起，批评各种解题训练(以「奥数」为典型)，成了一种政治正确，好像不批评几句奥数就不是一个关爱学生的、有良心的长者。

我的同事就对解题训练非常不屑，他送孩子去上奥数班，却和老师打好招呼，不参加考试。

我对于奥数和应试教育不了解，专家们的批评大概是有理有据的，但这种风气也许不该刮到数学爱好者的圈子里，因为对于我们来说，夸夸其谈数学思想是更加容易的。

金庸小说里有一个厉害的角色叫「王语嫣」，每当别人用出一个招数，都能够头头是道的点评一番，比谁知道的都多，但却没有实际功夫。 3

王语嫣向段誉瞪了几眼，脸上神色又是诧异，又有些鄙夷，说道：“你怎么会使‘化功大法’？这等污秽的功夫，学来干什么？”

段誉摇头道：“我这不是化功大法。.... 是我大理段氏家传的‘六阳融雪功’，.... 和化功大法一正一邪，一善一恶，全然的不可同日而语。”

王语嫣登时便信了，嫣然一笑，说道：“对不起，那是我孤陋寡闻。大理段氏的一阳指和六脉神剑我是久仰了，‘六阳融雪功’却是今日第一次听到。日后还要请教。” ...

王语嫣虽于武学所知极多，.... 和寻常的农家女孩、湖上姑娘也没什么分别。 6

当你听到诸如此类的批评时，应该要明确的意识到这种矫枉过正的风险。

你到底是要当王语嫣还是要当乔峰呢？换句话说，你到底是想当一个怎样的数学爱好者？是在酒桌上可以夸夸其谈的那种吗？

如果不是的话，那么这一周你做了几道题呢？

解释、评判、欣赏都是二流头脑干的事情。—— 哈代 11

在我看来，合格的数学爱好者，当然要探寻数学思想，固然不应只是一个解题高手，但他必须首先要是一个解题高手 10，在此之前空谈数学思想是没有意义的，因为熟练才是创新的基础。

人的大脑就像一台计算机，有内存条(工作记忆 working memory)和硬盘(长期记忆 long-term memory)，计算机的内存要比硬盘小得多，但是速度却快很多，所以计算工作只能在内存上进行，如果内存被占满了，那么运算的效率就会急剧下降，电脑就会变得很卡，无法操作。

大脑中的计算机也是一样的道理，思维只能在工作记忆中运行，认知心理学的研究表明，人的工作记忆最多只能有 7 条。

用尽浑身解数而不得解的时候，是工作记忆已经被占满了，皱起的眉头是大脑向你发出的警告。

这个时候你可能无奈的已经翻起了书，这就相当于在利用虚拟内存，翻了半天之后，终于找到之前那个例题了，终于松了一口气，赶紧复习一遍，把这个方法给用上去，与此同时，却发现旁边的那位已经把题做出来了。

好气啊！这家伙难道偷偷加了一个内存条吗？

并不是，工作记忆最多只有 7 条 2，但高手可能只用到 3 条就把问题解决了，另外的可以用来自由的发挥数学思想，用更有创造性的过程，更快的解决这个问题，而新手却不得其解。

根本原因在于大脑的「组块化」机制，虽然工作记忆的条数是被严格限制的，但是可以通过「封装」来绕过这个限制。

就拿学习开车来举例子吧，刚从驾校出来，第 1 次上路的时候，心里是非常紧张的，每一个操作在内心中都要默念一遍，生怕出错，最后还是发现忘记系安全带了，这个时候认知过载了；一年之，新手已经变成了一个老司机，这个时候熟练的上车，一切动作都自动完成，还能悠闲的点上一根烟，边抽边开。(这样会被处罚哦!)

内存条并没有增加，而是调用的机制改变了，「开车」这一系列动作被封装成了一个「组块」，这就是「组块化」。

而且这个机制并不是虚无缥缈的，通过大脑核磁共振可以发现，经过长期的训练，处理对应信息的大脑区域密度明显增高了，其实这是我们身体中的一种普遍的机制 —— 维持稳定。

你一定有过锻炼之后浑身酸痛的经历，这就是因为肌肉承受不住锻炼带来的损伤而出现了撕裂，而休息之后由于身体具有维持稳定的机制，被撕裂的肌肉会被重新修复，修复之后的肌肉纤维就比之前更加粗壮。 1

当你再看到数学高手时，先别急着去惊叹他的才华有多么不可思议。你应该想到的是，哇，这家伙的肌肉真强壮呀，他肯定下了不少苦功吧。而只不过他的肌肉在大脑里，你又没有透视眼，没法直接看得到而已。

▲ 图自 pixabay

对于数学思想的领悟应诞生于熟练解题之后，就像「在写十四行诗时，如果每个单词都要查字典，那么这首诗将永远无法完成」。

引用一位数学老师的话：

如果我们把数学的目标仅定为“得出正确答案”，并以此作为测试依据，那么我们培养的学生很有可能考试成绩优秀，却对数学一窍不通。

当然，如果我们培养的大批学生对数学的含义浅尝辄止，无法快捷正确地解题，这样的结果甚至更糟糕。4

▌为什么我痛恨高斯？

小的时候，经常会被别人这样表扬「这么难的题，你还能做出来啊，真是聪明」，表扬带来的内心喜悦，今天想起来依然是挥之不去。

看数学书的时候，也会经常感慨数学家的智力是如何高超，几何原本就好像一台数学机器一样，定理到公理，一条条的铺好，分毫不差。

翻开数学天书中的一条条证明，你是否也曾掩卷长叹？我真的是没有做数学的天赋啊！

等等？！先别急，你是真的没有数学天赋吗？

「以大多数人的努力程度之低， 根本还轮不到拼天赋」，这句话谁不知道呀？可是数学题我就是不会做，你又作何解释呢？

在这里我要问一句？遇到一个百思不得其解的数学题，你是怎样的心情呢？是一点悲伤还是一点不知名的愁？ 5

如果是，你的「固定型思维(fixed mindset)」已经害了你。

在认知心理学等社会科学领域，得出可靠结论是不容易的，因为变量太多，但这个结论却接受了双盲实验的考验：「成长型思维(growth mindset)」比「固定性思维」更有利于学习和提升。

先不去争论是否存在天赋，或者说天赋对于人的影响到底有多么大，只是相信「任何事情都是一门技能，都可以通过努力得到提升」，学习成绩都可以得到提高。这已经得到了大规模对照研究的证实。

难道这不是常识吗？

并不是。虽然很多人表面上认同努力，而反对天赋论，但落到实际上却不是这样。

了解一个人，不应该看他说什么，而应该看他做什么，表面上说一套，实际上做另一套，这种事情也是时常发生的。

刚刚的那个问题就很典型，就算有很多人以为努力更重要，但他们做题的时候，仍然会为做不出来。认知和实践出现了断层，既然能力是靠练习提升的，「做不出题目」就算不需要高兴的大跳，起码也应该是平和的。

因为那就是练习的常态：对于一项技能的练习来说，只有存在困难才存在提升。如果你已经轻松的解决了练习题，这说明应该换到一个更难的地方。

就好像健身一样，锻炼完之后肌肉没有酸痛是不正常的，说明重量没加够。

儿时会经常的被表扬「聪明」，其实这也是一种「固定型思维」的灌输，表扬孩子的时候请告诉他：「你能做到这一点，真的是很努力啊~」。而不要说「你能做到这些真是聪明啊~」。后面那种表扬真是会害人的。

选一个好老师也是非常重要的。我说「在学术上成就斐然的教授，在教学上可能是一塌糊涂」，在教学上一塌糊涂的体现之一就是：总让你感觉到「哇，太厉害了」。

对于这一点，最令人印象深刻的案例莫过于「冯·诺依曼的微积分课」：

有一次，冯 · 诺伊曼讲完一堂微积分课，有位学生跑来问他问题：“冯 · 诺伊曼教授，黑板上最后那个问题，我不了解你是怎么得到答案的”。

冯 · 诺伊曼转过头盯着黑板上那个问题，看了大约一分钟，然后说： 。这位困惑的学生以为他没有听明白，于是说：“我知道那是正确答案，冯 · 诺伊曼教授，我只是不懂它是怎么求出来的。”

结果冯 · 诺伊曼盯住学生看了一分钟，然后移开视线，又重复一遍说：。这名学生开始失去耐性了：“但你并没有告诉我你究竟是怎么得到答案的！"

冯 · 诺伊曼把头转向他，一脸寒霜地说：" 小伙子，你到底要我怎么办呀？我不是已经用两种不同的方式告诉你了吗？" 7

高斯是一个不世俗的数学天才，他的才华是毋庸置疑的，但我依然对他完全没有好感 9。因为我不是一个「王语嫣」，喜欢对各家各派的武功品头论足，我喜欢是真正能教给我武功的人，高斯是最杰出的数学家之一，但他可能不是个好老师。

当你阅读高斯的著作时，你只会惊叹于他的才华横溢，而对于具体的探索路径一无所知。

「高斯象一只狐狸，用尾巴扫砂子来掩盖自己的足迹。」—— 阿贝尔

「当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净。」—— 高斯

据说这是高斯最大的缺点，也正因如此，他与同时代数学家的关系都不怎么好。在这里我不想对高斯的动机作出其他的评价，但我们可以用脚投票去选择一位更好的老师：在数学圈里与高斯风格截然不同的就是——欧拉。

拉格朗日曾说「读读欧拉，他是所有人的老师」，连高斯也说，「读欧拉的作品乃是了解数学的最好途径」。

挑选教材最重要的是根据水平做出选择，但选择一位平易近人的作者也是不可忽视的。

真正的好老师应该让学生有这种感觉「这个老师是一个努力而有方法的普通人」，而不是「这个老师是个天才」。

▌创造力与形式化

能把数学讲得简明易懂，并不是一件容易的事情，高度形式化令人挠头的数学是长期发展的结果，那些复杂的概念并不是「大厦」，严丝合缝的一层一层搭建的，相反，往往是修修补补慢慢改出来的。

数学史的发展也一再证明：自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 8

——《数学的源与流》

微积分学就是最典型的案例，从牛顿、莱布尼茨、欧拉时期，再到柯西、康托，后又到勒贝格，微积分学符号是越来越怪，外行是越来越看不懂。之所以这样，并不是数学家故意搞坏，只是因为在应用的过程中发现了问题，不断进行修补。

在1904年那本重要的专题著作的序言中，勒贝格承认他的那些定理把我们从「优美的」函数之邦带到一个更复杂的函数王国，而为了解决那些简单陈述的具有历史意义的问题，还需要在这片王国居住下来。

他写道：「这是为了解决已经提出的那些问题而不是出于对复杂事物的偏爱，我在书中引进一个积分定义，这个定义比黎曼积分的定义更具有普遍性，并且把黎曼积分作为一个特例。」

为的是解决历史留下的问题而不是为了使生活变得错综复杂化：这是亨利·勒贝格在他研究数学的旅程中所奉行的金科玉律。 ——《微积分的历程》

分析学的大厦是自下而上建立的，但教科书又不得不自上而下的去讲述，这就导致教科书的头几章常常是令人非常头痛，不知所云。

数学书不同于其他的书籍，最开始的囫囵吞枣和不求甚解，以及之后的反复阅读和温习，是非常有必要的。

依靠数学史的轨迹去学习数学，这种教学方式被称为「再创造」 12，这种方法的价值在于：兼顾了创造性和学习效率。

首先它并不是直接「学」，而是还原到当时的历史场景中去感受一个概念诞生的背景，「知其然，但也知其所以然」。其次也并不妄图从头创造一遍历史，那简直是痴人说梦 12。纵然站在历史的高点往前看，「再创造」也是极其困难的，到最后还是要学习前人发明的高效方法。虽然如此，但这个思考的过程中就已经收获了创新能力。

初学者很难在一开始就通过「再创造」的学习方法。首先，越是严肃的数学读物越需要坚实的数学知识，这对于初学者来说是不现实的；其次，特殊教科书为了数学的美感，会把很多重要的细节给丢失掉。

传统的数学教学出现了一种不正常的现象，弗赖登塔尔称之为「违反教学法的颠倒」。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以「显然」二字一笔带过。——《数学教学理论选讲》

正因如此，优秀的导师是可遇不可求的，如果你遇到了一位，那就庆幸和珍惜吧。

▌参考资料

[ 1 ]  《刻意练习》

[ 2 ]  《科学学习》。「效率与创新」的图，摘自该书同名章节。

[ 3 ]  《高手：精英的见识和我们的时代》

[ 4 ]  《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》

[ 5 ]   改自《开场白》歌词

[ 6 ]   摘自小说《天龙八部》

[ 7 ]  《微积分之屠龙宝刀：笑傲极限、连续、导数、积分法》

[ 8 ]  《数学的源与流》

[ 9 ]    Quoted in G F Simmons, Calculus Gems (New York 1992)：He is like the fox, who effaces his tracks in the sand with his tail.

[ 10 ]   改自《计算机科学反思录》

[ 11 ]   《一个数学家的辩白》

[ 12 ]   《数学教学理论选讲》：当然这并非让我们去机械的重复历史，但新一代不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去。

[ 13 ]    动图来自《学习观》

[ 14 ]    数学分析教材的配图来自：www.zhihu.com/question/24286040/answer/35220352