西兰花中的分形及西兰花的表面积和体积计算

作者徐乐涵，上海师范大学附属中学高一4班学生。本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第2次征文活动，欢迎参与. 

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分形(Fractal)，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形一词，是曼德博创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。1973年，本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形的设想。而我们平时吃的西兰花就是一个天然的分形。

西兰花作为一种蔬菜却有“花”字，可见其颜值之高。那么它究竟为什么能让大家看上去赏心悦目呢？那是因为它的表面是由一个个小的分形花簇构成的，形成了科学美。

科学美是数学美的一种。数学美以令人赞叹不已、无比快悦的美妙形式揭示自然界的内在美以及客观事物的内在美以及客观事物之间的各种关系，是数学中的艺术。

数学美的形式有简明美、对比美、对称美、序列美、节奏美、奇异美和滑稽美。数学美食自然美的数字、图像化；是表现数学内容的形式的艺术化；是社会上第一流人格美的代表者----探索者们的劳动结晶；是自然美、艺术美、社会美中精萃的综合和统一物。

难怪有英国数学家亨利·比林斯利发自内心的话语：“许多艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有效地去美化和修饰人们的心灵。”

曼德尔布罗特最先引入分形一词，意为破碎的，不规则的，并且建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合；也尝试性地给出了一个定量刻画，说分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑结构的集合。

分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的集合学。由于不规则（非线性）现象在自然界是普遍存在的。因此，分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

如Cantor集的初始元是长度等于1的线段。将其分3等，去掉中间一段，保留两侧的两段作为生成元。然后将剩下的两段重复以上步骤，以至无穷。此分形给人们的感觉是简单的，但它却体现出数学的简明美。

谢尔宾斯基三角形、地毯一样是经典的分形集。
图形上毫无保留地展现出数学的对称美，还可以利用矩阵和数学形态学相结合来产生这些图形，图像矩阵和结构矩阵的应用，能够从公式、结构上感受到数学的对称美。从图中还能看到对称性，它指的是对一类具有无穷嵌套的几何对象。

根据三分 Cantor集的构造可以导出有趣序列和一列有趣的对数不等式 ：
有 数 列  ，即





其中  为正整数。而且对任意的正整数 ，有 。而这样用同一种数学符号表示出多种数量之间关系或在一连串的、有规律的变化中揭示 数量之间关系的数学结果正体现了数学的序列美。

总之，分形让我们深切地感受到了数学美，而且分形与其他学科的融合也不能不让人感受到它的神秘和数学的和谐美。分形这一现代学科与古老的牛顿法存在着极为密切的联系，它在复动力系统中的应用更是让我们大开眼界。从分形能看到古老与现代、简单与复杂的完美统一。而对数学的研究，人们自觉不自觉地 都在使用着美学规律，数学的发展是人们对于数学美的追求的结晶。

由此，我们可以运用数学方法去计算西兰花的表面积和大概体积。首先，我们需要对西兰花进行简单建模。

▲ 西兰花表面二维展开图

此计算基于以下假设：
1、将西兰花的分形图案看做是一个正六边形。
2、假设西兰花每一个六边形和下一个子六边形的比例都是 。
3、假设西兰花的中心杆长与西兰花中间最大的六边形的边呈2:1的比例关系。

首先由等比数列可以计算西兰花的表面积得：
解：设西兰花的中心杆长为  cm（ 的长度与西兰花种植的水分、土壤、光照、技术、西兰花种植鼠密度等有关），则可得西兰花最中心的六边形边长为  cm。
同时，西兰花分形展开次数为 。

当  时，花簇面积 
当  时，花簇面积 
当  时，花簇面积 
当  时，花簇面积 
当  时，花簇面积 

由于西兰花基本上都是由不超过四次分形展开的花簇组成的，只要根据不同的西兰花再乘以其花簇数即可。

还可用公式 (  为西兰花最侧边长)接下来对西兰花的体积进行建模。

由图可见，西兰花的体积是由球形体积的一部分加上圆锥体的体积构成的。设球的半径为  cm。

则西兰花的体积为 

总结：分形在我们的生活中无处不在，我们要善于观察它的美，把分形问题运用的日常生活中，为生活带去数学的美感，让分形问题融入在日常生活之中。