亚洲第一位菲尔兹奖得主小平邦彦的数学印象

关于作者小平邦彦

小平邦彦（1915年3月16日－1997年7月26日）是日本数学家。以在代数几何和紧复解析曲面理论方面的出色工作而著名。他也是为数不多的同获菲尔兹奖和沃尔夫奖的数学家之一。

图灵最新出版的小平邦彦《微积分入门（修订版）》 [遇见] 微店刚刚上架，他的另外两本《惰者集》、《几何世界的邀请》小店也有代理。[遇见] 也计划根据此书制作一些动画，届时回馈给曾支持过的老友们，敬请关注！

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作者者：小平邦彦 

译者者：裴东河

出版社：人民邮电出版社

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本书为日本数学家小平邦彦晚年创作的经典微积分著作，有别于一般的微积分教科书，本书突出“严密”与“直观”的结合，重视数学中的“和谐”与“美感”，讲解新颖别致、自成体系，论证清晰详尽、环环相扣，行文深入浅出、流畅易读，从原理、思想到方法、应用，处处体现了小平邦彦的深厚功力与广阔视野。作者着眼数学分析的深处，结合自身独到的思考与理解，从严谨的实数理论出发思谋微积分，通过巧妙引导，启发读者自主思考，提升对微积分的领悟理解程度。
本书是小平邦彦为后人留下的一份重要文化财富，不仅值得数学专业人士研读，对于需要微积分知识的其他理工科学生和专业人员也具有深刻启示。

译者序

前言

第1 章 实数

第2章　函数

第3章　微分法则

第4章　积分法

第5章　无穷级数

第6章　多元函数

第7章　积分法则(多元)

第8章　积分法则(续)

第9章　曲线和曲面

附录

解答，提示

索引

下文节选自小平邦彦《惰者集：数感与数学》, 已获人邮图灵授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!

数学印象

数学是什么，这说不清道不明。不过，每一个对数学感兴趣的人多多少少都有各自的见解。在本文中，我会坦率地讲述数学家眼中的数学印象，比如像我这样专门研究数学的数学家是如何看待数学的，以便为读者提供参考。

人们通常认为数学是一门由严密逻辑所构建的学问，即便不是与逻辑完全一致，也大致相同。实际上，数学与逻辑并没有多大关系。当然，数学必须遵循逻辑。不过，逻辑对于数学的作用类似于语法对于文学。书写符合语法的文章与用语法编织语言、创作小说是截然不同的。同样，依照逻辑进行推论与使用逻辑构筑数学理论也并非同一层面上的事情。

任何人都能理解一般逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学。然而众所周知，无法理解数学的初中生或高中生大有人在，语言能力优异、数学能力不足的学生十分常见。因此我认为，数学在本质上与逻辑不同。

数感

我们试着思考数学之外的自然科学，比如说物理学。物理学研究的是自然现象中的物理现象，同理可得，数学研究的是自然现象中的数学现象。那么，理解数学相当于“观察”数学现象。这里所说的“观察”不是指“用眼观看”，而是通过一定感觉所形成的感知。虽然很难用言语去描述这种感觉，不过这是一种明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉，在我看来这种感知几乎接近于视觉。或许我们可以称之为直觉，不过为了凸显其纯粹性，在接下来的表述中，我将其称为“数感”。直觉一词含有“瞬间领悟真相”的意思，所以不太合适。数感的敏锐性类似于听觉的敏锐性，也就是说基本上与是否聪明无关（本质上无关，但不意味着没有统计关联）。不过数学的理解需要凭借数感，正如乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人同样无法理解数学（给不擅长数学的孩子当家教时，就能明白这种感觉。对你来说已经显而易见的问题，在不擅长数学的孩子看来却怎么也无法理解，因此你会苦于不知如何解释）。

在证明定理时，数学家并没有察觉自己的数感发挥了作用，因此会以为是按照缜密的逻辑进行了证明。其实，只要用形式逻辑符号去解析证明，数学家就会发现事实并非如此。因为这样最终只会得到一串冗长的逻辑符号，实际上完全不可能证明定理（当然我的重点并不在于指责证明过程的逻辑不够严密，而是在于指出数感能帮助我们省略逻辑推理这个过程，直接引导我们走向前方）。近来经常听到人们在讨论数学感觉，可以说数学感觉的基础正是数感。所有数学家天生都具有敏锐的数感，只是自己没有察觉而已。

数学同样以自然现象为研究对象

也许有人认为将自然现象的一部分作为数学的研究对象太过鲁莽。但是，正如数学家在证明新的定理时，通常不会说“发明”了定理，而是表达为“发现”了定理。由此可见，数学现象与物理现象一样，都是自然界中的固有之物。我也证明过几个新定理，但我从来不觉得那些定理是自己想出来的。这些定理一直都存在，只不过碰巧被我发现了而已。

经常会有人指出，数学对于理论物理学有着不可思议的奇妙作用。甚至会让人产生一种观念，以为所有物理现象都需要依托数学法则而存在。而且，大部分情况下，在物理学理论被发现之前，数学家们早就准备好了该理论所需的数学知识。黎曼空间对于爱因斯坦广义相对论的作用就是最好的例子。为什么数学对物理学的作用如此之大？当然，只要解释说数学是物理学的语言，这个话题就到此为止了。比如，广义相对论中黎曼空间的作用的确可以说是一种语言，但是数学对于量子力学的作用却堪称是一种神秘的魔法，无法单纯将其视为一种语言。 打开量子力学的教材，首先是关于光干涉、电子散射等实验的说明，接着是用波函数（即希尔伯特空间中的矢量）来描述光子、电子等粒子的状态，最后推出态叠加原理。态叠加原理是量子力学中的基本原理，它表达了如果状态A 是状态B 与状态C 的叠加，那么A 的波函数是B 的波函数与C 的波函数的线性组合。

什么是粒子的状态？例如，粒子加速器中电子的状态由粒子加速器决定，所以粒子的状态可以理解成粒子所在的环境。在量子力学中，极复杂的环境也只由一个波函数（矢量）来描述，因此首先需对环境进行简化和数学化。如何理解状态A 是状态B 与状态C 的叠加？如果是教材中的光干涉等情况，那么就比较容易理解。不过，在通常情况下说环境A 是环境B 与环境C 的叠加，这就不容易理解了。不确定性原理，例如不可能同时测量一个粒子的位置和它的速度，是通过测量实验对粒子的干扰来加以说明的，最终表明一个粒子无法同时存在于测量位置的装置和测量速度的装置中。换言之，即粒子不可能同时存在两种环境。那么如何理解这两种环境的叠加呢？只能说实在是难以理解。另外，波函数的线性组合运算如同数学中的初级运算一样简单。而态叠加原理则主张通过简单的数学运算来表示各种复杂奇怪状态的叠加。也就是说，数学运算支配了作为量子力学对象的物理现象。这种数学运算与物理现象的关系，并非是通过解析叠加的物理意义而将其用数学公式表现出来，而是将“波函数的线性组合可以描述状态的叠加”视为公理，然后依据数学运算来确定叠加的意义。正如费曼（R.P.Feynman ）所言，除了数学之外，没有其他方法能说明态叠加原理了。我们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法，因此我认为物理现象的背后存在着固有的数学现象。

数学是实验科学

我认为，数学家研究数学现象的意义与物理学家研究自然现象相同。也许有人认为，物理学家需要进行各种实验，而数学家仅仅在思考而已。不过，这种情况下的“思考”含有“思考实验”的意思，与考试中对题目的“思考”性质全然不同。考试题目一般是将固定范围内的已知内容组合在一起，一小时之内肯定能够解开，所以相当于提供了明晰的思考对象和思考方法。然而，实验是调查未知的自然现象，因此无法预测结果，甚至无法得到结果。这种实验的形式 同样存在于数学中，探究未知数学现象的思考实验，其思考对象和思考方法都具有未知性。这也是数学研究过程中最大的困难。

最简单易懂的思考实验当属从具体事实中归纳猜想。例如我们尝试思考一下，偶数最少能表示成几个素数之和。偶数2 本身是素数，暂且另当别论。除此之外，正如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，100=47+53……所示，偶数一般能表示成两个素数之和。根据上述结论，我们可以从中推出定理“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和”（这个命题就是著名的哥德巴赫猜想，至今未被证明）。如果调查多个事实能够猜想出定理的形式，那么之后只要思考如何证明该定理即可，也就是说研究的最初难关已经突破。当然，数学中仅仅依靠积累几个事实是无法证明定理的，定理的证明必须另外进行思考。

初等数论的许多定理就是先由实验结果引发猜想，然后才得到证明。而且，从19世纪末到20世纪初，恩里格斯（F.Enriques ）、卡斯特尔诺沃（G.Castelnuovo）等意大利代数几何学家获得的惊人成果中，依据实验得到成果的不在少数。托德（J.A.Todd ）在其1930年左右发表的论文中曾明确断言：“代数几何是实验科学。”直到最近1，上述几位数学家的定理才全部得以严密证明。不过值得注意的是，尽管他们当时给出的定理证明不够完全，但是定理本身却是正确的。

发现新定理

现在数学的研究对象一般都非常抽象，实例也十分抽象，让人难以理解。所以依靠具体事实归纳来猜想定理的方式，在大多数情况下已经难以适用。目前的情况下，关于发现新定理的思考实验方式，我本人也是不得而知。如果将精力都花费在思索新的思考方式上，恐怕难有所得。实际上很多时候无论如何思考都得不到相应的结果。这样看的话，是否可以说数学研究是一份极其困难的工作呢？不过这倒也未必。有时候感觉自己什么也没做，那些应当思考的事情却很自然地呈现在眼前，研究工作也得以顺利推进。夏目漱石在《梦十夜》中对运庆 [1] 雕刻金刚手菩萨像的描述，充分表现了这种感受。这部分内容引用如下：

[1] 日本镰仓时代(1185 - 1333)的高僧, 雕刻技艺十分精湛. - 编者注

运庆在金刚手菩萨的粗眉上端一寸处横向凿刻，手中的凿刀忽而竖立，转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚硬的木头中，厚厚的木屑应声飞落，再仔细一看，金刚手菩萨怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰呈现。运庆的运刀方式无拘无束，雕琢过程中丝毫没有任何迟疑。

“他的手法真如行云流水，凿刀所到之处，居然都自然地雕琢出了内心所想的眉毛、鼻子样子。”我感慨至极，不禁自言自语道。

结果，方才那位年轻男子回应道：

“什么呀，那可不是凿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本来就埋藏在木头中，他只是用锤子、凿子将其呈现出来。就像从泥土中挖出石头一样，当然不会出现偏差。”

在这种时刻，我常常感到世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到一些学生在犹豫将来是否从事数学方面的工作，我就会想建议他们“一定要选数学，因为再没有比数学更容易的学科了”。

漱石的故事后续如下：

这时，我恍然大悟，原来这就是雕刻艺术。这样的话，好像谁都可以做这个。想到这里，我突然也有了想要雕刻一座金刚手菩萨像的念头，于是回到家中，从后院里堆积的木柴中选了一块木头，开始动手雕琢。然而事与愿违，虽凿刻良久，木头中却仍然寻不到金刚手菩萨的踪影。我突然醒悟，明治时期的木头里根本就不会藏有金刚手菩萨。

数学也一样，普通的木头里没有埋藏着定理。不过，仅仅从外表观察，并看不出里面究竟埋着什么，所以只好尝试雕刻看看。数学中的雕刻就是繁琐的计算与查阅文献，绝不是什么简单的事情，而且在大多数情况下，都会竹篮打水一场空。因此数学研究非常耗时，而且我觉得运气也是一个影响研究成败的重要因素。

定理与应用

现今的数学，通过具体事实的归纳来猜想定理极其困难，不仅如此，定理与具体事实的关系也在发生变化。在大学低年级的数学中，定理之所以是定理，是因为其可应用于许多事实中，没有应用的定理则多没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。从这个意义上来说，函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。但是在最近的数学中，几乎很少看到拥有广泛应用性的定理。岂止如此，许多定理几乎毫无应用性可言。正如某君不客气地评价：“现代数学只有两种，有定理却没有应用实例的数学与只有应用实例却没有定理的数学。”从现代数学的立场出发，“不管有没有应用，好的定理就是好的定理”，不过我却总觉得没有应用的定理多少还是有点儿美中不足。

数学的唯一理解方法

即使不做研究，只是阅读有关数学的书和论文，也非常费时。如果只读定理部分而跳过证明过程的话，似乎很快就能读完两三本书。但是实际上，跳过证明的阅读方式如浮光掠影，留下的印象非常浅，结果多会一无所得。想要理解数学书，只能一步一步遵循证明过程。数学的证明不是单纯的论证，还具有思考实验的意味。所谓理解证明，也不是确认论证中是否有错误，而是自己尝试重现思考实验的过程。换言之，理解也可以说是自身的体验。 不可思议的是，除此之外数学没有其他的理解方法。物理学的话，即便是最新的基本粒子理论，只要阅读通俗读物，尽管读者与专家的理解方法不同，多少还是能大致理解或者至少自己觉得好像理解了。这就是外行人的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是数学不存在外行人的理解方法，所以没人可以写出关于数学最近成果的通俗读物。 （本节完）

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