数学家凶猛

2018 年 9 月 25 日 秦朔朋友圈

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这是秦朔朋友圈的第2233篇原创首发文章

最近，向来高冷的数学界成为大家关注的焦点。原因是9月20日，89岁的英国数学家迈克尔·阿蒂亚宣称黎曼猜想得证，并于9月24日在海德堡获奖者论坛上宣讲了这一结果。阿蒂亚表示，他是基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克等人的成果，使用一种简单而全新的方法证明了黎曼猜想的。

| 迈克尔·阿蒂亚

黎曼猜想以德国著名数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名，被认为是“穷尽数学家一个世纪的努力都没有被解决”的数学难题之一。

更厉害的是，虽然黎曼猜想并没有被证明，却不妨碍数学家使用黎曼的发现。目前已经有1000多个数学命题是以黎曼猜想为基础，也就是说数学家在提出这些命题的时候，已经假定黎曼猜想成立。由此可见，黎曼猜想对于现代数学世界的重要性。

为了能够解决这个问题，美国的克雷数学研究所把黎曼猜想列入“千禧年大奖难题”清单当中，只要能解开其中一个，便能获得100万美元的奖金。至今仍有6个问题目前仍悬而未决，其中就包括黎曼猜想。

“但是每天都有人写信给我们，宣称自己解开了黎曼猜想”，研究所负责人在接受采访的时候表示。

不过，这次宣称解开黎曼猜想的阿蒂亚可不是一般人。他曾先后获得过“数学界的诺奖”——菲尔兹奖（1966年）和阿贝尔奖（2004年），还担任过英国皇家学会主席，被认为是当代最伟大的数学家之一。

在并不热门的数学世界里，涌现出了很多世界级的大师，这些拥有人类最智慧大脑的科学家们，用他们的才华和能力，在一次次地改写世界的历史和人类的命运。

尤其是在今天的现代科技社会，数字是主宰一切商业、科技、文明的核心基础，是最基础、最根本的生产力。决定人工智能水平的贝叶斯算法、区块链的核心技术密码学、可能颠覆今天所有科技的量子计算等等，这些的基础统统都是数学。

今天就借着黎曼猜想和阿蒂亚的热门话题，剖析一下冷清又高深的数学世界里那些凶悍的数学家们，以及他们所改变的世界。

业余数学家贝叶斯

人工智能绝对是今天全球最热门、最受瞩目的行业，它的底层算法之一贝叶斯算法也堪称是网红级的概念。谈人工智能，必须谈上几句贝叶斯，才能算得上专业。但是你可知道，贝叶斯算法大概200多年前就被发明出来了。数学家的前瞻性，真不止领先一个世纪。

为了证明上帝的存在，英国业余数学家托马斯·贝叶斯发明了概率统计学原理，他发现了古典统计学中的一些缺点，并在统计当中引入了一个主观因素（即先验概率）形成了自己的“贝叶斯统计学”。

也就是贝叶斯认为，用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。换成数学语言，就是当我们认为当自己不能准确知悉一个事物的本质的时候，可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。也就是说支持某项属性的事情发生越多，那么这个属性成立的可能性就越大。

这个概念是不是听起来既没有新意、也没有亮点。而且这哪是数学公式啊，不用贝叶斯说，普通人有点常识就能知道，甚至有点像算命。比如，当你看到一个人总是做好事，你就会根据这些客观的新信息，认为他多半是个好人，简直就是不靠谱。

但是数学家牛的地方就在于，一般人都停留在了常识阶段，而数学家能够从中找到更深刻的事物运行本质，并且指导未来的原理。贝叶斯最大的贡献，就在于他跳出了传统统计学必须依靠客观数字基础的研究方法，而是建立在主观判断基础上，做一个估值，然后根据客观事实不断修正。

说了这么多，还是举个例子吧，看看贝叶斯原理在真实世界当中的使用案例。

冷战时期，美国的“天蝎号”核潜艇神秘沉没，原因众说纷纭，至今都是谜团。当然这是后话，当时除了要找到沉没的原因之外，打捞遗骸当然也是很重要的工作。在茫茫大海里，想要找到遗骸，也不是一件容易的事情。

因此，美国海军特别计划部的首席科学家John Craven收集了包括潜艇专家、海事搜救等各个领域的专家提供的信息，按照他们的猜测评估某种情景出现的可能性，结合贝叶斯公式给出了一个搜寻方案。不过美国海军并没有采纳，他们觉得这个跟算命一样的搜寻方案不靠谱，于是自己出动军力，在大海上寻觅了好几个月，都没有任何收获。

实在没办法，他们回头找到John Craven求助。John Craven给了他们一张20英里海域的概率图：

每次寻找时，先挑选整个区域内潜艇存在概率值最高的一个格子进行搜索，如果没有发现，概率分布图会被“洗牌”一次，搜寻船只就会驶向新的“最可疑格子”进行搜索，经过几次搜索，潜艇果然被找到了。这种基于贝叶斯公式的方法在后来多次搜救实践中被成功应用，现在已经成为海难空难搜救的通行做法。

再仔细想想，震惊世界的围棋高手AlphaGo不就是采用了类似的机器学习办法吗？所谓的计算机的“归纳学习”也是通过大量尝试性练习而形成的一种概率评估。

那么为什么贝叶斯算法沉寂了200多年，直到近几十年才大放光芒呢？原因是贝叶斯算法需要海量数据和天量的计算能力，没有现代计算机的支持，是很难做到的。所以，随着数据量增长、计算能力的不断增强，贝叶斯算法还会有更广泛的运用空间和场景。

200年前的业余数学家贝叶斯，为人类开创了一个新的时代。

密码学背后的数学家

我曾经在这篇《区块链和比特币，不过是密码学历史上的一次小高潮》文章里，探讨了区块链和比特币，看似神乎其神，其本质就是密码学，不过是披上了高科技的外衣。

纵观人类数千年的文明史，不难发现，在每个时代，密码学都可以借助那个时代的先进科技，产生新的加密方式，制造出那个时代的区块链技术，来保证信息传输的安全和可靠。而且，率先把密码学和先进科技结合起来的一方，能够占据那个时代的领先位置，对历史和文明产生重大的影响。

大名鼎鼎的凯撒大帝南征北战，其中获胜的关键之一在于强大的信息传输和保密工作。凯撒大帝是第一个把替换密码用于军事用途、并且记录下来的人。这种加密方式沿用千年，被称为“凯撒密码”。此后千年，不论是阿拉伯人、还是欧洲人，亦或是中国人，都在漫长的历史长河中使用过各种各样的“密码”，与当时的科技结合，就成为了那个时代的“区块链”。

不过，有一点值得特别说明，一直到二战之前，密码学都还只是文字游戏、简单的猜心术，是人和人的较量。第二次世界大战，希特勒领导的纳粹德国把恩格玛密码机这个更加高科技的技术引入到战争当中，它在编制密码方面毫无费力地碾压了人类最优秀的编码师，就像是AlphaGo无情地击败了人类最优秀的围棋手柯洁一样。可以体会一下，今天围棋国手们面对AlphaGo的感觉，就像是当年密码学家面对恩格玛密码机的感受是一样的，完全无力招架、完全没有还手之力。

借助恩格玛密码机强大的密码编撰能力、以及更加强大的无线电传输能力，希特勒拥有了当时世界上最安全的通讯系统，他可以用更快、更精准、更安全的方式向远在千里之外的将军下达战令；德军的铁骑也以各种“闪电战”的速度攻城略地，肆无忌惮地在欧洲横冲直闯，根本没有人能拦得住。

当然你会想起来，现代计算机之父阿兰·图灵不是破译了恩格玛密码么？准确地说他是其中之一。波兰人首先为破译密码打下了基础，他们开创性地把数学家和工程师引进到密码破译中来。在此之前，破译密码的基本都是语言学家、统计学家等等。然后，盟军做出了巨大的牺牲，才缴获了恩格玛密码机，使得密码学家能够了解这台在当时看上去无比智能的机器的工作原理，然后以图灵为代表的数学家们经历了呕心沥血的工作，最终研发出了另外一台密码破译机，在二战期间成功破解德国的密码，让二战提早了两年结束，历史学家认为，他们的工作至少拯救了两千万条人命。

“普林斯顿疯人院”

跟其他基础科学领域的科学家相比，数学家是一群很特别的存在。因为他们不需要做实验、不需要团队协作，大部分时间都是把自己关在小黑屋子里苦苦思考，以期得出惊世骇俗的结论。所以，这群人特别容易成为不合群的偏执狂，甚至成为大众眼里的“疯子”。

科学界最出名的“疯人院”莫过于普林斯顿高等研究院，这里被美国的原子弹之父奥本海默戏称为“普林斯顿疯人院”。这里最出名的当然是物理学家爱因斯坦，在大众眼里他已经非常特立独行了，但跟“疯人院”里其他疯狂的科学家相比，爱因斯坦简直是太正常了。

| 奥本海默

普林斯顿高等研究院里出过的著名“疯子”包括电影《美丽心灵》的原型数学家约翰·纳什，他在这里拿到了自己的博士学位，研究成果便是后来拿到诺贝尔经济学奖的“纳什均衡”的初稿。

纳什的故事大家多有耳闻，今天就讲讲另外一个超级“疯子”数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）的故事。下图是他的一本传记的封面，书名就叫《The Man Who Loved Only Numbers》（有人翻译成《数学情种》）。

把“数学情种”用来形容埃尔德什再合适不过，他不仅是20世纪最伟大的数学家之一，还撰写了超过1400篇高质量的论文，而且他在数论、集合、几何等多个领域都有建树，与500位知名的学者进行过跨界研究，帮助和影响了很多科学家达到了自己研究的高峰。

埃尔德什每天工作19个小时以上，在他看来人是不需要休息的，他随时随地都可以思考数学问题，并且形成高质量的论文。有笑话说，埃尔德什在坐火车的时候，跟售票员合写了两篇论文。

埃尔德什的论文可不是粗制滥造的拼凑，而是真正有学术价值的内容。在数学界，甚至有一个以埃尔德什命名的“埃数”，用于表示研究者与埃尔德什间的合作距离。埃尔德什本人的“埃数”为0，与其直接合作者为1，与“埃数”为1者合作过的人的“埃数”为2。以此类推。一个惊人的结果就是全世界的科学家，不管他们所从事的行业或者方向与埃尔德什有多远，他们的“埃数”都小得惊人。比如物理学家费米的埃数是3、海森堡是4、爱因斯坦是2，就连比尔·盖茨的埃数都仅仅是4而已，要知道盖茨一辈子都没发过几篇论文。可见埃尔德什在全球科学学术界的影响力。

数学世界关于埃尔德什的故事和段子简直到处都是，信手拈来。

有一次，在“疯人院”里，两位数学家正在为一个维数论中的问题大伤脑筋，他们试图求出希尔伯特空间里有理点集的维数，埃尔德什站在旁边看了看，很白痴地问：维数是什么？那两个数学家正在积极讨论，所以简单地跟埃尔德什解释了一下。然后埃尔德什接着问：什么是希尔伯特空间？两位数学家直接翻了白眼，三言两语给埃尔德什解释了一下就把他打发走了。结果一个小时之后，埃尔德什带着答案回来了，一篇高质量的合作论文诞生。从此世界上又多了两个“埃数”为1的作者。

还有一次，在数学研讨会上，一位数学家正在作报告。整个过程中，埃尔德什都处于昏昏欲睡的状态。当这名数学家谈到其中一个问题一直悬而未决的时候，埃尔德什突然睁开眼睛，让数学家重复了一遍问题。听完之后，埃尔德什继续打瞌睡。但是数学家的报告还没有做完，埃尔德什就打断他，说你刚才提到的这个问题我已经解决了。果不其然，两人讨论之后共同发表了一篇论文。

更有趣的是，埃尔德什80岁的时候，医生给他做视网膜手术。结果躺在手术台上的埃尔德什忽然生气地冲医生说：“你们为什么把灯关了？！”他之所以生气是因为，他以为自己在手术中还能用另一只眼睛看书，而医生却把灯关了。于是埃尔徳什在手术室里和医生吵了起来。面对这位倔强的老人，医生只好给学校的数学系打电话：“你们能否派一个数学家过来，以便能够在手术过程中跟埃尔德什能谈论数学？”数学系答应了，最终手术得以进行。

据说一旦他住进医院，病房就会变成会议室。病床上堆满了论文，数学家们像是连着线一样在病房进进出出，他们分成三堆，病床上的埃尔德什用英文和一堆人交流，用匈牙利文跟一堆人交流，用德文和另一堆人交流。有时候还会因为病房不能容下太多人而转院。

当然，埃尔德什只是众多疯狂的数学家当中的一员。他们以特立独行的个性和勤奋智慧的发现，推动了整个科学界的进步，进而推动了人类社会的文明前进。