蒙日-安培方程(Monge-Ampere PDE)是完全非线性、退化椭圆型偏微分方程,其一般形式为: 即便在基础数学领域,由于其强烈的非线性,和高度的技巧性,蒙日-安培方程理论研究一直处于曲高和寡的境地。蒙日-安培方程和几何问题密切相关,这意味着自然界中的大多数几何问题本质上是非线性的。例如闵可夫斯基(Minkowski)问题,给定凸曲面定义在法向量上的高斯曲率,如何重建曲面;Weyl问题,如何实现带有黎曼度量曲面的局部等距嵌入;仿射几何中的仿射球和仿射极大曲面问题。在几何光学中,蒙日-安培方程同时也是解决反射曲面、折射透镜的设计问题的关键。在经济理论和概率统计中,最优传输(Optimal Mass Transportation)理论的基础也是蒙日-安培方程。