懂数学人的都认同：数学的本质[关联]万物（一）

来源：数学职业家

本文将会以数学为主线和切入点，进行一次思想和思维上的自由推理探索认知之旅，并将会透过一种有趣视角和观点，窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万事万物和我们的宇宙。

现在就让我们开始这次认知探索的旅程吧。

概述

数学是，结构（存在数量）和关系（存在变化） 的描述，以及验证（结构和关系) 的方法和过程。 至于逻辑，更像是结构和关系所固有特点，而抽象是寻找结构和关系过程的手段。 所以，数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。

数学发展到今天庞大而巨细、分支繁杂又艰深，但抽象来看就3个方面：

1. 形状结构的定义和空间关系描述。
2. 数的结构的定义和数的结构之间的关系描述。
3. 对以上结构和关系研究验证的过程和方法。

数学也像一个游戏，在自洽的游戏规则内，随意进行思维的玩耍。 从公理出发，进行必要的定义，然后进行严谨的推导论证，得出结论，接着经过确认过的结论（不能与之前的结论相矛盾），又可以加入以后的推导过程中作为基础，如此反复。 这就像一个游戏，但目的和终点不得而知，只是结论越来越多，格局越来越大。

而这套游戏玩法，就被称为公理方法，其圈定的越来越庞大的游戏（领域）范围，则被称为公理体系。 其中，自洽的游戏规则，需要遵从3大基本原则： 相容性、完备性、和独立性。

• 相容性，就是结论本身和之间不能出现矛盾。
• 完备性，就是任何结论都必须可以由公理推导得出。
• 独立性，就是公理不依赖于其它公理的逻辑推论。

事实上，这套公理游戏，最早可以追溯到欧几里得的时代，并且几何学就是这种游戏演绎的一个典型代表。

那么，在很久很久以前——公理体系还没有诞生的时候，数学最初是起源于生活的具体的，那时候还不叫数学，只是一种简单的计数系统。 比如，自然数就是映射具体的，但从有理数开始就脱离了现实，变成了人为的创造与抽象。 而如今，数学发展到现在，已经完全变成了纯思维的活动，完全脱离了现实，可以说这体现了人类抽象思维和推理能力的进化——也就是智能的进化。

数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。 所以，数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。

事实上，基因并不会衰老，基因只是一串排列组合的信息，相反存在越久远的基因越会存在更长的时间。 衰老的是上层结构，基因代表的是信息，描述了上层结构，结构复制结构就会把基因传递下去。 而结构的复制错误就是衰老的原因，并且会反作用于基因。 有趣的是，基因指导了结构的复制，这是基因的生存之道。 基因就像是数学，描述了结构的规律。 而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。

结构和数据

结构和数据 之间存在一种可以互相转化的关系，数据是传递信息的结构，而结构可以吸收数据所传递的信息，形成新的结构，从而不断的变化。

而思维，正是数据在（脑神经元网络）结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。 人们以为自己的想法，源于自身大脑独立的产生。 但其实，任何想法思维都需要数据的参与和构成，而数据是来自外部环境的。 可见，所有的想法都只是环境信息的表达而已，而数学作为思维的产物，所做的所有探索和发现，以及严谨的推理论证，都只是环境信息结构和关系的呈现。

• 首先，大脑能想到的，都一定对应物质实现的信息排列组合。 因为大脑思维的数据来自环境，大脑只是把通过感官（视觉、听觉、触觉、味觉等）接受的数据，自由组合起来。
• 其次，大脑运行的原理和规则，是宇宙规律的一部分和缩影（分形构建）。 所以，大脑想象力的产物，终究会在不同的时间点以不同的形式，在现实（物质）世界中实现。 比如人类想象着飞翔，最终发明了飞机。 再比如，点石成金虽然炼金术师无法完成，因为炼金术师只掌握了化学手段，而化学变化并不能改变原子种类，但未来通过掌握核聚变技术，就可以完成点石成金的转变。 （恒星内部无时无刻不在进行着核聚变）。

有一种观点，认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论，并且公理（这是游戏系统的根基）选择具有任意性，只要没有矛盾，就可以任凭数学家的自由意志随意创造。

这就相当于把数学架空到一个虚拟的游戏世界，沉浸式的体验，只要合理逻辑自洽，就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。 那么，数学家的自由意志——随机又虚幻，这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。

公理选择的指导原则： 尽量少、足够简单、并且直观上明显合理。 事实上，抛开哲学因素和对最基本原理的探究，公理方法是剖析各种事实之间的互相联系，以及展示结构基本逻辑关系的最自然的方法。

然而，无论是谁的自由意志，其产生原因的背后都需要数据，因为无论是结构化知识的积累，还是灵感直觉的探索，亦或是进行逻辑推理与归纳，都无法脱离数据独立完成。

而数据最终都是来自于环境信息的，那么数学家，就像一个过滤器，不断地从环境信息中观察和总结，并通过逻辑性的推理演绎，提取出数据中内在结构和关系，最后使用数学语言，对这个过程和结果进行描述和表达。

那么，数学家在直觉指引下的构造性思维，其实就是数学动力的真正源泉。 数学家的构造性直觉，给数学带来了一个非演绎且非理性的要素，这是可以和音乐与艺术相比拟的。

直觉主义与形式主义

对于数学本质基础的认知讨论，有两大派系： 一个是直觉主义，一个是形式主义。

其中，直觉主义认为人的直觉是应对着现实对象的（或说是来自于现实），所以数学的命题是在描述客观的实体，那么就必定没有相容性，即矛盾的问题。 因为现实不会存在矛盾之物，并且只认可构造性的性质，即给出结构性证明，那么反证法则不属于这个范畴，因为反证法其过程没有结构，只有矛盾。

而形式主义 ，不在乎数学与现实的关系（认可人类思维的虚构创造与现实不对应），只专注于公理之上的逻辑演绎，即形式逻辑程序。 其严格要求，不能引入矛盾，无论使用什么方法都行——重要的是自洽没有矛盾，所以与直觉主义不同，反证法也会被认可。 但实际上，这种要求在概念严格封闭的系统中，证明相容性与完备性是不可能的，比如集合论悖论——这像极了，封闭系统无法维持有序，必须注入引入外部能量，才能维持局部有序的形式。

罗素给出了集合论悖论的通俗形式，即“理发师悖论”： 一天，村理发师挂出一块招牌： “村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。 ”于是有人问他： “您的头发由谁理呢?” 理发师顿时哑口无言。

因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。 但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。 如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。 由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

有趣的是，直觉主义和形式主义的这些思考和讨论，都是在构造性的、直觉模式的指引下产生的，这意味着他们在互相渗透彼此，并且他们共同点就是极力的在排除矛盾。

矛盾性

那么，我们就要问了，为什么无论是在虚幻的思维，还是坚硬的现实之中，都不应该出现矛盾呢？ 或许矛盾之物的存在，就是世界的本质，而思维的矛盾是现实的一种延展和感知，现实的矛盾不存在，仅仅可能是因为我们无法感知到而已。

同时，还有一种可能是，在一个巨大循环结构（宇宙）的局部，因为视角和数据的局限，矛盾是必不可少的结果，但在更高的视角和数据范围上，矛盾就会被轻松化解。

而这种局部限制性的存在与突破，则对应了物理上的——对称性破缺。

在宏观上我们会看到对称性，但微观上却充满了不对称性。 在物理上认为，对称性原理均根植于“不可观测（变）量”的理论假设之上，而不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。

这些不可观测量中，有一些只是由于我们目前测量能力的限制，当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然就要扩大，因而，完全有可能到某种时候，我们就能够探测到某个假设的不可观测量，而这正是对称性被破坏的根源所在。

最后，矛盾性，其实可以看成是同一种物质在不同状态之间互相转化的效应，所以万事万物总是矛盾又统一的。

未来智能实验室是人工智能学家与科学院相关机构联合成立的人工智能，互联网和脑科学交叉研究机构。

未来智能实验室的主要工作包括：建立AI智能系统智商评测体系，开展世界人工智能智商评测；开展互联网（城市）云脑研究计划，构建互联网（城市）云脑技术和企业图谱，为提升企业，行业与城市的智能水平服务。

  如果您对实验室的研究感兴趣，欢迎加入未来智能实验室线上平台。扫描以下二维码或点击本文左下角“阅读原文”