蜂窝的数学特征 - 《迷人的图形》

2019 年 5 月 17 日 遇见数学

下文节选自《迷人的图形》, 已获出版社授权许可, [遇见]补充部分图形, 转载请注明. 这本新书也参加了当当和京东的 每满100-50的折扣优惠, 活动力度都很不错, 感兴趣的朋友可以文末链接看下.

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除了条纹以外，生活中的图形还有很多，比如斑点。为什么老虎有条纹，而豹子身上的图案却是斑点呢？也许动物的斑纹大多是它们希望得到的一个结果。不信的话，就看看极乐鸟那身稀奇古怪的羽毛吧。动物或鸟类的基因可以指示自身的细胞形成任何图形。然而奇怪的是，总的来说，它们并没有这样做。它们大多形成了简单的常见图形，即条纹、斑点等形状规整的色块。通常，这些图形会拼凑成各种奇怪的组合，在鸟类和鱼类的身上表现得更加明显。因此它们的基因也许可以将这些图形组合成整体，但决定图形种类的却是其他一些因素。

那么，还有哪些图形呢？蜂窝。蜂窝从外观上看明显具有数学特征，一排排完美的六边形组成了一个整齐的二维阵列。蜂窝和雪花都与神奇的数字6有关，这个巧合也没有逃过开普勒的眼睛。蜂窝里的六边形就是一个个小房间，每个房间可以容纳一个蜂蛹，也可以储存蜂蜜。我记得我家曾屡次遭受黄蜂的侵扰。令我吃惊的是，帮我们解决这个难题的人从我家屋顶掏出了一个有些年头的蜂窝。我战战兢兢地打开这个神奇的“折纸工艺品”，发现它的内部是一个个几乎相同的六边形腔室，结构非常优美。但是，腔室之间的拼接方式不是很规则，这说明黄蜂没有制订总体规划，就同时开始建造多个腔室，而且各个部分的拼接工作做得也不太细致。

普通蜜蜂一般沿垂直方向建造蜂窝，六边形巢穴是水平朝向的，而黄蜂则沿着水平方向建造蜂窝，六边形巢穴是垂直朝向的。它们怎么会这么聪明呢？它们都是群居昆虫，从某种意义上讲，集体行动的能力远超个体。因此，我觉得它们其实没有那么聪明，而是在某些因素的帮助下，它们具备了某种优势。之所以有的图形比较容易产生，是因为从本质上讲，宇宙万物都遵循一些简单的规则。

正因为如此，建造出蜂窝结构的生物也不仅限于蜜蜂，领地性很强的鱼拥有同样的本领。从这些鱼的身上，我们可以更清楚地看出蜂窝状结构受到青睐的原因。休伦湖中的一种小型鱼就是一个典型案例。这种鱼具有强烈的领地本能，通常会为自己雕琢出宽约12英寸（1英寸≈ 2.54 厘米）的鱼形领地，之后就驻守在自己的领地中央，随时驱逐一切入侵者。这种鱼数量非常多，它们的领地紧密地聚集在一起。巧合的是，这些领地也构成了蜂窝状。乍一看，就像一项惊人的工程。但这里有一个诀窍，即“密堆积”。如果把大量形状相同的圆形物体（例如硬币）放到桌子上，然后摇晃桌子，让这些物体尽量挤成一团，你就会发现这些物体排成了蜂窝状结构。实际上，这些蜂窝状结构不是绝对规整的，那些鱼的领地和蜜蜂的蜂窝同样不太规整。大约100年前，数学家证明了蜂窝是在平面上紧密排列圆形的最有效方法，主要原因是6个圆正好可以包围一个同样大小的圆，蜂窝正是重复采用了这种结构。

无论如何，这一切都告诉我们一个事实：遵循简单的局部规则，就可以构建规整的大型图形。这说明大自然的图形宝典是有逻辑可循的。开普勒早就意识到了这一点——他在研究雪花的那本书中介绍的一个重要观察结果就是密堆积的圆具有规整性。鱼把它们的领地排列在一起，蜜蜂则演化出将蜂蛹排列在一起的结构。

蜂窝状花纹没有条纹那么普遍，但在自然界中也十分常见。它们的基本数学结构比条纹更加明显，因为蜂窝是由六边形构成的，六边形是几何学研究的内容之一。蜂窝还体现了图形形成的一个重要特征：同一个基本单元被反复应用。蜂窝是将近似圆形的图形紧密结合在一起的一种有效方法，大自然在很多时候都要借用这个方法，因此六边形和与之相关的蜂窝在物理学和生物学的图形形成中都扮演着重要角色

无论如何，这一切都告诉我们一个事实：遵循简单的局部规则，就可以构建规整的大型图形。这说明大自然的图形宝典是有逻辑可循的。开普勒早就意识到了这一点——他在研究雪花的那本书中介绍的一个重要观察结果就是密堆积的圆具有规整性。鱼把它们的领地排列在一起，蜜蜂则演化出将蜂蛹排列在一起的结果。

那么，雪花是把什么排列在一起了呢？