草船借箭可有其事？ - 《数学的故事》

2019 年 1 月 6 日 遇见数学

20 个如诗歌般优美的数学故事,
自古暨今, 横贯东西,
遍及人类社会的每一个角落

下文节选自蔡天新老师新著《数学故事》, 已获中信出版社授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!

草船借箭可有其事？

如同自行车的发明使得人们扩大了交流范围，弓箭的发明也拓宽了人们的活动范围。有了弓箭，人类便可走出山洞，离开茂密的森林，来到广阔的丘陵或平原安家。弓箭不但能增强人们的安全防御能力，也能帮助他们获取更多猎物，为人类的繁衍生息创造良好的物质条件。

弓箭诞生于约3 万年前的旧石器时代晚期，它是冷兵器时代最可怕的致命武器。弓箭由弓和箭两部分组成，其中弓由有弹性的臂和有韧性的弦构成；箭包括箭头、箭杆和箭羽，箭头为铜或铁制，杆为竹或木质，羽为雕或鹰的羽毛。射手拉弓时，手指上还有保护工具。

恩格斯说过，“弓、弦、箭已经是很复杂的工具，发明这些工具需要有长期积累的经验和较为发达的智力”。弓箭的发明或许与音乐的起源有某种关系，20 世纪英国科学史家J. D. 贝尔纳（J. D. Bernal）认为，“弓弦弹出的汪汪粗音可能是弦乐器的起源”。

在《诗经·小雅》里有一首诗写“角弓”，即弓箭。这首诗劝告周王不要疏远兄弟亲戚而亲近小人，以为民众做出表率。首章4 句是：“骍骍角弓，翩其反矣。兄弟昏姻，无胥远矣。”骍骍指弦和弓调和的样子，翩是弯曲，昏姻即婚姻或姻亲，意为“把角弓调和绷紧弦，弦松弛的话会转向。兄弟姻亲是一家人，相互亲爱可别疏远”。

中国古代神话里有“后羿射日”的故事。在古典小说里，一方面有许多神箭手，例如吕布辕门射戟，薛仁贵三箭定天下，养由基百步穿杨，等等。另一方面，打不赢就放箭的例子也比比皆是，清代如莲居士的传奇小说《说唐》里的罗成虽武艺高强，最终却陷于淤泥并死于乱箭。

一般士兵的射术可没有神箭手那么精准。假设他们单次射中目标的概率为0.1，没射中的概率就是0.9，连续两次射不中的概率为0.9×0.9 = 0.81。依此类推，100 次都射不中的概率为0.9100 ≈ 0.00003，那么至少射中一次的概率为

1 – 0.00003 = 99.997%

即便要求至少射中目标三次，概率仍高达98.41%。由此可见，与其费力去找神箭手，不如让100 个士兵乱箭齐发效果更好。在罗贯中的历史小说《三国演义》里，长坂坡（今湖北荆门）一役成就了赵子龙的传奇，其实曹操下令不许放箭可能也起到了不可或缺的作用。

再来看诸葛亮草船借箭，传说是取到10 万支箭。依据罗贯中在书中的描述，当时江上大雾弥漫，士兵放箭基本是闻声寻的，命中概率估计不到0.1，中间还要调转船身，用另一面接箭，自然会射空。即便射中概率不变，也至少要射100 万支箭，而当时曹操的弓箭手仅1 万名，每人需射100 支。专家分析这不太可能，因为古时一个箭壶一般只装箭20~30 支。