CAGD小课堂之看我七十二变

（图片来源网络）

计算机辅助几何设计（CAGD），作为工业设计和制造的理论基础，一直是最为前沿的研究方向。本期小课堂秀秀请到西北农林科技大学张志毅教授作为主讲老师为大家介绍CAGD理论及应用的七十二般变化。

以1960年代Bézier曲线曲面和Coons曲面的提出为开端，经过Bézier三角面片、B-spline曲线曲面发展阶段，到1980年代出现的NURBS曲线曲面，构成了工业界中计算机辅助设计理论的坚实基础。比如声名卓著的法国达索公司主导开发的CATIA ，美国参数技术公司开发的Pro/ENGINEER和德国西门子的PLM Software公司出品的Unigraphics NX均是以这些曲线曲面模型为基础来开发的。

图1  一次、二次与三次Bézier曲线原理

（https://www.cnblogs.com/hyb1/p/3875468.html）

1980年代，Gregory面片的出现又成为日本晶格技术公司产品XVL3d的主要基石，随后，为解决三角域插值问题的Gregory三角面片也被提出。从飞机、汽车、轮船、到机械零部件、玩具和家具构件，几乎所有的工业产品都是利用这些软件来设计然后生产的。

图2 CAGD在工业生产方面的应用（图片来源网络）

1990年代，随着细节特征可控的细分割曲面技术的成熟，计算机辅助几何设计又被用于3D动画和娱乐产业，一时间风靡全球。与经典曲线曲面拼接时需要考虑其连续性条件的裁剪模式不同，细分割曲面拓扑同胚于原始的网格模型，能够免却裁剪和拼接的麻烦，但同时丢失了些形状调控的自由度。此后，结合了NURBS和细分割曲面优点的T-spline(T-NURCC)曲面被提出并受到专利保护，后被融入到Autodesk产品中。

图3  Autodesk InfraWorks 2014

该领域目前比较成熟的算法包括：几何绘制图形的de Casteljau算法（Bézier曲线曲面）、de Boor算法（B-spline曲线曲面）、曲线曲面拟合时要用到的参数设置算法（均匀法、弦长法、求心法）、节点矢量的de Boor设置方法（B-spline和NURBS曲线曲面）、节点插入算法（NURBS曲线曲面）、细分割曲面的特征点控制算法、T-spline曲面的拼接算法等。

发表于我刊2019年第4期的封面论文《拥有指数参数的新三角基》在拟扩展切比雪夫空间的框架下构造了一类具有全正性的基函数，并以此基函数进行曲线曲面构造。实验表明本文构造的曲线具备传统三次Bézier曲线的所有优良性质，而且具有灵活的形状可调性。随着参数的增大，所生成的曲线能够更加逼近控制多边形，模拟控制多边形的行为，如图4。此外，本文在三角域上构造的曲面能够生成边界为椭圆弧的曲面，如图5。

论文标题：拥有指数参数的新三角基

论文作者：汪凯, 张贵仓, 拓明秀

引用格式：汪凯, 张贵仓, 拓明秀. 拥有指数参数的新三角基[J]. 中国图象图形学报, 2019, 24(4): 615-629.

[DOI: 10.11834/jig.180469]

全文链接：

http://www.cjig.cn/html/jig/2019/4/weixin/20190412.htm

图4  不同参数对QCT-Bézier曲线的影响

图5  边界为圆弧、椭圆弧以及抛物线弧的QCT-Bernstein-Bézier曲面

CAGD未来研究方向：新型基底函数的探寻、曲线曲面的相似性判定理论与方法、拓扑(结构)和几何(测度)相融合的新型曲面探寻、侧重于拟合与重构的曲面表达、易于控制的动态曲面化表达、实体造型化模型的单参数化方法等。

主讲人：张志毅

西北农林科技大学教授，硕士/博士生导师，工学博士。陕西省图象图形学学会理事，日本艺术科学会东北支部海外干事。主要研究方向为计算机辅助几何设计、计算机辅助设计、计算机图形学、计算机视觉。

E-mail:liurenzu@sohu.com

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编辑：秀秀

指导/审核：梧桐君

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