漫谈高数曲线积分的物理意义

2018 年 11 月 8 日 算法与数学之美

漫谈高数曲线积分的物理意义

来源：CSDN libochun3217的专栏

编辑：Gemini

从函数到定积分，曲线积分到环路积分。

定积分的求解---牛顿.拉布尼茨公式有什么几何意义? 简单的说，因为F(b)-F(a)在几何上是f(x)的原函数F(x)在y轴上的线段长度，那么这个长度如何表示呢? F(b)-F(a)可以写成在区间[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))，那么这个Sigma就是f(x)的定积分了。反向构造的方法联系了不定积分和定积分。

最简单的积分是写成这样的，用算子S[x,a,b]表示在区间(a,b)内对x求积分，那么函数y=x^2在(1,2)区间内的投影面积，就是 S[x,1,2](x^2)。积分可求的唯一条件是y可以表示成x的函数f(x)，也就是曲线上，x和y的值，一一对应且唯一对应。什么情况不能称为函数? 例如椭圆方程对应的图形，x,y的值不是一一对应，所以椭圆方程里面的x,y不是函数关系。这个放到计算机程序里面很好理解，一个不依赖于外部变量的函数 y=function(x)，唯一的x应该确定唯一的y。否则这就不是函数了。既然积分可以写为算子形式，那么N重积分就是N阶积分算子作用于积分式的效果，里层的积分结果包含了外层的变量而已。同理，高阶微分方程可以看成1阶微分算子的叠加结果。所以我们只讨论一阶的情况----高阶的讨论类似。

好了，说了函数和定积分的关系。那么有些积分式不能表示成函数的形式，怎么办? 例如我要求一个中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的面积，怎么办? 我们可以把椭圆切成两部分，面积就是x轴上半部分的面积2倍。而上半部分椭圆，x,y值之间是一一对应关系，可以用定积分来求解。那么什么又是曲线积分? 可以看成是定积分的推广。定积分总是写成S(y)=S(f(x))的形式，那么我希望被积分的式子有一个加权，可以是常数，也可以是函数g(x,y)，那么现在的积分式子就是S(y')=S(g(x,y)*f(x))。求的是对x的积分，其中y=h(x)。

太抽象了，举个有物理含义的例子。

1. 假设x/y平面是一个力场，一个质点在立场中受力，它受的力在x轴方向方向的投影值，恰好等于它的y坐标(力的正负代表方向)。
2.那么这个例子沿着曲线y^2=x，从(1,-1)移动到(1,1)，立场对它作了多少功?

我们可以画出一个图形，粒子在y的负半平面受的力总是向左的(负号)，在y的正半平面受的力总是向右的，所以立场一直在x轴方向对例子做正的功。做功的积分式子分为两个部分，(1,-1)到(0,0)的过程是S[x,1,0]，dx是负数，力y=x^0.5也是负数，负负得正。所以做的总功=2*S[x,0,1](x^0.5)，这个解求很简单了。那么如果立场还有一个y方向呢? 叠加的结果就是2*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，写成积分式子，就是对于坐标的曲线积分。

当对于坐标的曲线积分变量很多的时候，可以求出每个点的曲率，用[P'x+Q'x+...]dt代表x，依次类推，写成一个单变量的定积分形式。为什么定积分是个减法? 因为是求被积函数的累加，这是一个长度，所以几何意义就是端点相减。定积分还有什么性质？因为把积分变成了求差/和，反过来，求差/和可以把变量放到微分号里面去，或者提出来，1重积分可以变成线性运算(定积分)，还可以变成2重积分(格林公式，和路径无关的积分)。注意这里的定理成立都必须符合一定的约束条件，例如格林公式要求在环路闭合面积内可微，否则就必须借助复变函数的留数定理来求解。

什么又是对弧长的曲线积分呢? 例如求一个线性弯曲刚体的长度，或者在这个长度上做加权的积分。由于长度信息不能分解成x,y轴的投影加和，所以和对坐标的曲线积分不一样。电磁场的积分问题就是对弧长的，做环路曲线积分，是同等维数积分里面最复杂的情况，可以从格林公式推导出等效的2重积分进行求解。格林公式怎么理解? 对于曲线积分必须知道x/y之间的某种函数关系，但是很多情况下根本写不出来，或者根本无法积分，所以采取分布的求解办法映射到2重积分。格林公式推导出了函数解析的概念，但是这个解析的函数仍然是一个全导数的原函数。直到复变函数的柯西-黎曼方程才给出了复变函数解析的充要条件。对坐标的曲线积分怎么求呢? 可以把对弧长的曲线积分映射为对坐标的曲线积分，ds=((1+(dy/dx)^2)*dx)^0.5的转化式子表示，因为 S(Pdx+Qdy+Rdz)=S(Pcosa+Qcosb+Rcosc)ds,其中cosa=dx/ds是曲率。对弧长的曲线积分的推理过程可以参考
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.1duihuchang.htm。这个在物理里面有个电磁学公式就能体现出来，麦克斯韦的四个公式之一，磁场对时间的偏导数对该磁场区域面积的积分就等于该区域电场对该区域边界的环积分----也就是应该反过来理解格林公式，导数函数的面积分等同于原函数的曲线积分。

2维积分有什么用? 一个用处就是求解非常困难的1维积分问题(复变函数是2维积分的通用形式)，下面这个例子来自于网络(http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/9.2jisuanfa.htm)，用2重积分解决了概率积分公式的问题。

格林公式的意义在于:

一维的定积分通过牛顿---莱布尼茨公式得到了完满的解决，等于不定积分原函数的两个取值之差。那么格林公式的意义呢? 曲线积分，分成dx和dy的两部分分别证明。考虑凸面曲线的情况，因为其他情况可以分解为若干个凸面曲线的情况。例如要证明格林公式中关于dy的部分，就可以看作很多条平行于x轴的线穿过被积分的曲线，其中每一条直线和曲线交与两点，靠近y轴左半平面的点记做Q1，靠近y轴右半平面的点记做Q2，那么根据曲线积分的正向定义，逆时针方向，Q1点的微元dy是正的，Q2点的微元dy是负的。然后微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1- Q2)dy。好了，Q1-Q2又是多少呢? 由牛顿莱布尼茨公式得到它是Q2-Q1这条线段上Q'(x)的积分和。那么积分和的和就是一个2重积分，这无数条平行于x轴的线段共同构成了曲线围绕而成的面积----注意在面积内的每一条线段都满足可导条件，也就是这个面积之内的点处处可积。那么dx的部分为什么有负号? 同理，由正相的定义，靠近离x轴上半平面的那个交点上面的微元是负数，靠近x轴下半平面的交点微元是平行于正向的，牛-莱公式前面就有了负号。推广一下，把曲线积分和2重积分之间的变幻关系放到3维空间，就有了斯托克斯定理。我们把格林公式看成斯托克斯定理的特殊形式。

格林公式有什么作用呢? 曲线积分不好算，就换成2重积分；2重积分不好算，就变成曲线积分。还有一个性质，对于符合积分与路径无关的曲线积分，可以化为一个2重积分(0)，和一个围绕不可导点的曲线积分----这个围绕不可导点的曲线可以任意取以使得积分可以很容易的求出(复变函数则用留数作了)。所谓的和路径无关，说明被积函数的原函数是个解析的场函数，因此才能和路径无关，这就是格林公式的物理意义和能量意义。而高斯公式关心的是场的密度和场强大小，是另一个物理概念范畴。

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从曲线积分出发，从格林公式出发，高斯和黎曼得到了复变函数: 把x和y作为一个整体z来研究

有一幅很著名的画叫做"神秘的小岛"，这个画的内容看起来是个探险的小岛，但是把一个圆柱形的镜面放到画的中央，人们惊奇的发现其实这是作者的自画像。如果这幅洋洋洒洒的油画是代表了实数的问题，那些无穷无尽的无比复杂的现实问题，那么这个圆柱形的镜子就是"复数"这样一个发明，它把无穷复杂的问题变成了有穷范围内能表达的问题。由于一一映射的存在，实数域难以解决的问题通过映射和等效，在复数域通常能得到简单的解答，再映射回实数域，便是问题的解。

复数，是一个2维的数域，它用两个连续的数轴表示两个分量，有实数的连续性(无穷的值对)，有线性代数离散的性质(2维度的变量之间相互正交)，把无穷的影射变换到一个简单的圆周上面：三角函数变成幅度+相位的值对，相位变化变成旋转，指数运算变成乘法，对数运算变成除法，微分方程变成了指数形式的特征方程。实数轴是它的一个子域。数字的正负变成了数字的方向，-1代表旋转180度，所以(-1)(-1)=1，转180度当然回来了。虚数i代表旋转90 度，i*i=-1，代表旋转180度。例如y=ax+b的方向矢量为(a,1)，相当于向量z=a+i。

在复数域，4则运算变成了向量的加减乘除，需要符合向量的性质(线形代数)。因为所有的数字都变成了向量(由x轴的投影和y轴的投影表示，x+iy)。平方根的意义，就是什么数字A，A*A也就是幅度平方，角度*2得到B。那么正数开平方，角度是0，所以结果还是正数。负数开平方，180度除以2得到90 度，所以复数的平方根，是一个和x轴夹角90度的向量，单位是i。i有什么实际的物理意义吗？严格的说，其实数学本身作为一个符号系统的形而上学的演算工具，根本就没有意义。1恒等于1，是吗，一个苹果等于令一个苹果，但是我们选苹果是时候会选那个大的好的，此"1"并不等于彼"1"，"1"的意义是人为赋予的。从多维的观点线形代数的观点，所谓的"实数"其实就是把所有的量看成没有方向的"标量"，那么复变函数把一切都看成矢量。那么"i"的意义就必须是在矢量代数的情形下才存在意义。用一个黎曼球面我们把|z|从0到无穷大的所有的矢量影射到了一个南北极的球面上面，无穷的数域变成了有穷的数域。微分方程变成指数方程，纯为粉方程类似线形代数的方程组由通解和特解组成解系；指数变成拉伸和旋转，平面几何的问题变成解析几何的问题。

说的太抽象了，举个例子，如何判断两条直线是否垂直，那么z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相当于z1和z2之间的夹角=正负 90度。由于复数的乘法包含了角度的相加，那么z2的共轭矢量角度就是-Theta2。它们两个相乘的结果矢量角就是Theta1-Theta2，如果这个角度是90度，那么z1*z2'就应该是一个纯虚数，反之，z1*z2'是个纯虚数，就说明z1和z2垂直。所谓的"虚数"并不是不存在，而是它的值在实数轴x上面的投影总是0。那么写出来就是a+bi与c+di正交的充要条件就是ac+bd=0----看起来像是线形代数里面的[a,b]与[c,d] 互相正交的充要条件是矢量点乘=0。复数，确实是用线形代数的方式在研究高等数学，把函数的研究统一到了解析几何。这里，代数和几何没有区别。

再举一个例子，平面几何的命题：一个三角形AB=AC，AB上有线段mn,AC上有线段jk，长度mn=长度jk，证明mj的中点x和nk的中点y，连线垂直于BC。这道题如果用初等数学平面几何的性质，脑袋破了都很难证明，因为平面几何的定理是用语言表述的某种性质，证明的过程也是和人对图形的感性认识密切相关，例如垂直平分线，等腰三角形，这些自然语言的概念用起来太费劲，而且必须结合图形本身来使用。OK，用复数来证明，使用一个形式语言的演算系统：

1. 假设AB是实数轴，AC是和AB夹角为a的向量，那么假设等腰边长为l，那么AB=l,AC=l(cosa+isina)，BC=AC-BC=l(cosa-1 +isina)。
2. 假设mn和jk的长度为r，m=M+0i，j=M(cosa+isina)，那么n=M+r,k=(M+r)(cosa+isina)。
3. mj的中点就是d1=(m+j)/2，nk的中点就是d2=(n+k)/2，两点之间的连线的方向矢量f1=d2-d1=(n+k-m-j)/2
4. BC的共轭矢量f2=l(cosa-1-isina)
5. f1*f2，去掉实系数=(cosa+1+isina)(cosa-1-isina)，实部=cosa^2-1+sina^2=0，所以是个纯虚书，根据上例的结果，f1和f2垂直，证毕。

再举一个证明题：平行四边形对角线的平方和=相邻对角线平方和的两倍。那么设四边形的两条边是矢量z1和z2，那么|z1+z2|^2+|z1- z2|^2=(z1+z2)(z1'+z2')+(z1-z2)(z1'-z2')=2z1z1'+2z2z2'=2(|z1|^2+|z2|^2)得证。复数的函数(复变函数)往往具有对称性的性质。如果f(z)=a0+a1z^1+...+anz^n=X+Yi，那么可以证明，f(z')=X- Yi。有什么作用吗? 如果函数f(z)=0有解a+bi，那么a-bi也是解(显然因为X=Y=0)。复数更重要的特征是矢量的方向性。一个直线过z1,z2的端点，那么方向就是M(z2-z1)，直线方程就可以写成点法式: z1+M(z2-z1)=Mz2+(1-M)z1。

z在由x/y两个轴构成的复片面P1上面，那么映射f(z)对应另一个复平面P2，z->f(z)是一个映射，那么每一个z都有一个f(z)对应，当然不同的z可能对应相同的f(z)值。那么P2上面的点总能找到P1上面的对应点。如果2次多项式f(z)=az^2+bz+c，其中a，b，c都是复数，那么逆映射总是存在，f(z)=0是P2上面的0点，它总是对应P1上面的2个点，当然这两个点可能重合。一般的，如果不考虑平移的结果，我们假设 f(z)=z^n，按么z->f(z)是一个什么样子的变换呢? 我们把P1平面以0点为圆心切割成n个扇形，每个扇形的圆心角=2Pi/n，那么每个扇形fi都对应f(z)的一个映射平面Pi，于是P1映射到了n个平面Pi1-Pin上面，Pi1-Pin这n个平面全都相似，每个Pi对应P1上划分的第i个扇形；每个Pi上面的点zi对应P1上面的第i个扇形当中的一个根。这些根幅度相同，角度等差。也就是说，n阶方程总是有n个复根，当然这些复根当中有些可能是虚部=0因此是实数。我们考虑一个著名的问题，三次曲线和直线的交点,z^3=3pz+2q，p，q不为0。根据戒指定理我们可以知道f(z)=z^3-3px-q=0总是有解的，这个解写出来就是是两个根号相加，根号里面还有根号，所以可能是两个共轭复数相加同样得到一个实数。为什么呢? 3次方程=0逆映射回z的平面，3个根必然是沿着单位原对于x轴对称的3个点，所以有一个点一定在实数轴的负半轴，经过平移以后就能得到方程的实数解。这样就解释清楚了黎曼平面: Pi1-Pin这N个面连接起来构成一个黎曼面PL. PL和原来z的平面P1之间的点构成一一对应关系，一对多的混乱关系得到了解决，复数函数仍然是一一对应。

实变函数可以展开成泰勒级数----本质的意义不在于泰勒级数的导数项，而是在于，函数可以展开成自变量所表达的一个幂级数求和表达式，这个有点像离散结构里面的P问题。那么对于复数，因为解释函数的方向导数有无数个，所以无法直接表示成泰勒级数，但是仍然可以写成幂级数求和的形式----洛朗级数，同时，可以把泰勒级数看成洛朗级数在实轴方向上投影的特例。当然，这个时候的幂级数系数不能再用导数来求了(切线逼近法)，而是使用一个积分。如何理解这个积分要从柯西积分公式开始(基于柯西-古萨定理，也就是2维平面的格林公式积分和路径无关的条件)f(x,y)=1，绕着单位圆作对坐标的积分，显然=0，但是f(x,y)=1绕着单位圆作对弧长，显然=2Pi。复数平面上对z做的积分，微元\是对弧长作积分，但是积分的结果又可以分解成对x和y分别作的积分。S(z)dz=0,S(1/z)dz=2Pi*i。那么f(z0)=SL(f(z)/z-z0)dz就是柯西积分公式了，把z0看成变量，把 z写成w，那么就是函数形式的柯西积分公式。

需要很好的考虑几个问题:

1. 我们在把可积函数变成傅立叶级数的时候，曾经强调过，每个分量之间由于是三角函数族的成员，所以构成正交关系，所以显然，分量之间没有重叠，展开式显然唯一。那么对于泰勒级数和复分析当中的洛朗级数而言，函数的幂级数展开式是否是唯一的? 我们主要到没有任何条件限制规定展开分量之间必须构成正交关系。正交性并不必要，基不需要正交性。z和z^2线性无关（注意是“线性”）因为不存在c1和 c2\in R，使得c1*z + c2*z^2=0, 对于所有的z属于R都成立(z是变量，可以任意取)。严格的说，“幂分量”不需正交，仅要线性无关即可。反证法，我们假设幂级数的分量之间是线形相关的，也就是存在常数k1-kn使得(k1(1是角标))k1x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0。我们又知道前面这个方程，在复数域中仅有n个解，即0点仅有n个。故只有k1=k2=....=kn左端才恒为0(对于任意的z)，这就是线性无关的条件，n任意个，即无穷个x^i都线性无关。当然这里线性空间是一个函数空间，其实x,x^2,...构成其一个基----所以k1-kn都是0， {z^n}构成的分量，是个线性无关的集合(两两之间)。

2. 黎曼平面有什么应用的意义? 除了前面说的，可以建立z和f(z)的一一映射(不论是单值函数还是多值函数)以外，黎曼还有一个重要的发明: 黎曼球面。这个球面把所有的有限的问题(圆)和无限的问题(直线)统一到了一个球面上面。也就是说，无限远的点，无论从原点看过去是哪个方向过来的，现在都被统一到了黎曼球面的北极点(N)上面。因此，现在，所有的无穷的问题都有了一个用有限的可表示的黎曼球面来研究的可能性的，因此许多初等分析的超越问题现在都变得可解了。
3. 一起探讨一下直线到圆的思维方式的转变，以及这种转变所可能包含的几何意义。在一元微积分里面，计算定积分的时候用到了牛顿莱布尼茨公式，也就是寻找了 F(x)和F(x)的导数f(x)之间的一种关系，他们在线段长度上面构成一种几何关系，也就是在x0点附近，存在微分关系：dF(x)=F'(x)*dx=f(x)*dx，所以dF(x)/(x-x0)=f(x)，其中dx=x-x0是x轴上面的线段的长度。这个式子两边取不定积分就是S(F(x)/x-x0)dx=F(x)。放到复平面上面去，积分限无法取，我们把x变成变量w,x0先看成常量z0，积分就只能变成围绕 z0点的一个任意无限小的圆，同时前面加上了一个系数(1/2PI*i)，然后在把z0变成变量z，于是我们就得到了柯西积分公式----一维和二维的积分公式终于得到了统一。

4. 再次讨论级数，柯西积分公式当中f(z)=S(f(w)/w-z)dw，我们在收敛半径之内的单位圆里面，把分母部分(1/w-z)展开成为幂级数，限制条件是在半径R之内的圆，我们就把f(z)变成了洛朗级数。对比f(z)的复数泰勒级数形式，我们得到(1/n!)f(n')(a)=(1 /2Pi*I)S(f(w)/(w-z)^n+1)*(z-a)^ndz。我们显然可以看到一种集合关系，也就是把f(w)看成常数，g(z)=1 /(w-z)对z求n次导数，我们就得到了gn'(z)=1/(w-z)^(n+1)，两边取长度的积分我们就得到了洛朗级数和泰勒级数之间的对应关系，原先要求f(x)有无穷阶导数，现在这个要求放宽了，只要这个函数可积就可以了。

5. 为什么洛朗级数里面会有复数次幂? 因为对于柯西积分公式而言，要求在闭合路径之内函数解析，但是如果不满足这么严格的条件怎么办? 我们去掉不解析的点，就得到了一些列圆环，这个圆环上作闭合路径包围一定的面积，就是里外两条曲线，外围曲线就是洛朗技术的n>=-1的幂次项，内围曲线是反方向的环绕无穷原点(很奇怪吗? 只要把z平面映射到黎曼球面上，就会得到这个结论!)，是一个负数的积分结果，它的收敛半径相反，我们把z用z的倒数来代替，就得到了和前半部分几乎一样的表达式。所以洛朗级数的形式是Sigma从n=负无穷到正无穷的形式(完备)。特别的，如果圆环是圆饼，那么内环等于是不存在或者收缩到了一个点，也就是n<-1的那些负数次幂不存在了，函数解析，得到洛朗级数等于泰勒级数的结论。< font=""></-1的那些负数次幂不存在了，函数解析，得到洛朗级数等于泰勒级数的结论。<>

6. f(x)的可积条件是什么? 是f(x)x在x->无穷的时候，极限=0。如何理解这个结论? 显然limf(x)*x=0必要条件是f(x)是1/x的高阶无穷小。这意味着什么? 因为1/x作为一个被积函数，积分是无穷大，这个结论可以通过把积分看成Sigma(1/x)求和来理解，这个求和是不收敛的。

7. 通过洛朗级数的展开我们看到，函数关于z的幂级数展开释里面，1/z的系数就是对原函数做的一个围线积分。这有什么作用呢? 如果我们求f(z)的某个线积分，我们可以做辅助线来求f(z)的围线积分S1减去f(z)关于辅助线的积分S2。我们构造辅助线使得S2=0或者很容易求，那么S1是可以通过把f(z)展开成幂级数立刻得到的。因此，难以计算的一维线积分变得可以求解了，幂级数的a(-1)就是传说中的"留数"。如果这个线积分的积分限是无穷，那么我们就计算相应的无穷远点的留数，这个通过留数定理可解。于是，复分析变成了数学分析的延伸。再说一个概念从线面方程到复数向量: 黎曼几何

平面上的直线方程怎么写? ax+by=c。但是这个方程很丑陋，我们要写成ax'+by'=0的形式，那么就是直线可以表示为点的取值集合(x',y')。因此x',y'之间的约束关系就是直线方程，把这个约束写成变量的形式，我们得到(x'=bt,y'=-at+c/b)，t是实数。于是平面几何的方程就可以表示为点的集合。这样做有什么好处? 点值的几何做代数映射，对应就是几何上的各种变换，于是只能用自然语言表示的几何问题现在成了可计算的代数问题了。

复变函数为什么引入了黎曼球面？就是为了把范围无限大的集合限制到范围有限大的集合内，让超越问题变得可能计算。为什么高等数学搞了那么多种变换，总之是为了让直观不可能计算的问题变得可计算，然后再反变换回去。由递推式(z+z',-i(z-z'),|z|^2-1)/|z|^2+1，可以知道z平面上面对应球面的点:0对应(0,0,-1),1+i对应(2/3,2/3,1/3)。通过几何观察可以得知，黎曼球面上的圆对应于复数平面上面的圆(黎曼圆不过N点)或者直线(黎曼圆过N点)。又因为复平面的点和黎曼圆的点一一对应，所以所有的直线在无穷远处必定相交，哪怕是平行线----这就是黎曼几何不同于欧式几何的一个地方。一个感受就是，通篇没有任何平面几何的图形化证明，没有使用任何平面几何的自然语言表述的公理，一切都是使用代数符号完成的计算和证明，完成了从感性到理性的认识高度的上升，从平面几何的"形而中"，上升到了解析代数的"形而上"，完成了从初等数学到高等数学的升级。

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