【精选】卡尔曼滤波及其在配对交易中的应用

2018 年 10 月 13 日 量化投资与机器学习

——人工智能与量化交易公众号——

前沿

听过卡尔曼滤波的差不多有两年的时间了，虽然大致上明白其原理，但是也是直到现在才能够彻底掌握下来。主要是卡尔曼滤波算法涉及到比较复杂的数学公式推导。在很多博客上都有写卡尔曼滤波的相关文章，但都是花非常大的篇幅来通过一些例子来通俗地讲解卡尔曼滤波，对于不知道其数学原理的读者来说，看完之后依然是一知半解。

本文会先讲解最简单的单变量卡尔曼滤波，让大家知道卡尔曼滤波大致是什么样的，然后再详细地给出公式的推导过程，最后展示卡尔曼滤波在配对交易中的应用。

卡尔曼滤波

卡尔曼滤波(Kalman filtering)一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

最简单的单变量卡尔曼滤波，可以认为，我们观测的时间序列是存在噪声的，而我们可以通过卡尔曼滤波，过滤掉噪声，而得到了去除噪声之后的状态序列。

卡尔曼滤波在配对交易的应用

关于什么配对交易，什么是统计套利中的协整，知乎上有非常好的回答，在这里我们只讨论卡尔曼滤波在配对交易中的应用。

在配对交易中，我们构造了如下回归方程

然后利用该方程在样本外进行套利。那么，假如我们这里的a和B是会改变的，那么我们如何动态地去调整回归方程的系数？我们可以使用如下滤波的方式。

建立观测方程

建立状态方程

我们需要估计的状态为

下面以焦炭和螺纹为例，采用焦炭和螺纹主力连续合约的收盘价数据：

     
     
       
      
      
        # 以焦炭的收盘价数据作为x，螺纹的收盘价数据作为y
# 螺纹价格 = alpha + beta * 焦炭价格 + 随机误差 
from pykalman import KalmanFilter

#建立观测矩阵
observation_matrices = np.vstack(( np.ones(len(df[:'2013'])),
                                  df.loc[:'2013','焦炭'].values )).T
Shape = observation_matrices.shape
observation_matrices = observation_matrices.reshape(Shape[0],1,Shape[1])

#定义卡尔曼滤波的方程
kf = KalmanFilter(transition_matrices=np.array([[1,0],[0,1]]), #转移矩阵为单位阵
                  observation_matrices=observation_matrices)
np.random.seed(0)

# 使用2013年以前的数据，采用EM算法，估计出初始状态，
# 初始状态的协方差，观测方程和状态方程误差的协方差
kf.em(df.loc[:'2013','螺纹'])


#对2013年的数据做滤波
filter_mean,filter_cov = kf.filter(df.loc[:'2013','螺纹'])#观测值为螺纹

#从2014年开始滚动
start_index = np.where(df.index.year==2014)[0][0]

for i in range(start_index,len(df)):
    observation_matrix = np.array([[1,df['焦炭'].values[i]]])
    observation = df['螺纹'].values[i]

    #以上一个时刻的状态，状态的协方差以及当前的观测值，得到当前状态的估计
    next_filter_mean,next_filter_cov = kf.filter_update(
            filtered_state_mean = filter_mean[-1],
            filtered_state_covariance = filter_cov[-1],
            observation = observation,
            observation_matrix = observation_matrix)

    filter_mean = np.vstack((filter_mean,next_filter_mean))
    filter_cov = np.vstack((filter_cov,next_filter_cov.reshape(1,2,2)))

#得到alpha和beta
alpha = pd.Series(filter_mean[start_index:,0], index = df.index[start_index:])
beta = pd.Series(filter_mean[start_index:,1], index = df.index[start_index:])