现代数学和理论物理已经发展到多么令人震惊的水平了？

2019 年 5 月 18 日 算法与数学之美

来简单说一下当前可以确认的理论物理的高度。我们最早的理论物理是为实验服务的。在那个年代，我们依然处于做大量的实验，然后总结规律的阶段。所以在这一阶段涌现出了一系列比较初等的定律，比如

热力学第n定律
Snell 定律（光的折射定律）
万有引力定律
Coulomb 定律（静电相互作用）
Faraday 定律 (电磁感应定律）

等等。这个时候物理学理论和其它任何科学分支的理论没有本质上的差别。

后来，我们开始发现不同的定律之间有一些相同之处，尤其是发现电学和磁学之间的巨大相似性，进而发现原来电和磁是同一样东西。于是我们开始做抽象，把电学和磁学（以及一部分波动光学）的规律都吸收到了一套理论中，这就是 Maxwell 的电磁理论。这一阶段的画风是这样的

一切电磁相关的现象均可被 Maxwell 电磁理论描述
一切引力相关的现象均可被 Einstein 引力理论描述
一切热学相关的现象均可被统计理论描述

…………

再接下来，我们还发现不同的理论之间还有一些相同之处。于是我们开始了进一步的抽象，创造了所谓的 theory generator，或者说是一种通用的，用于生产理论的方法。典型的案例包括 Lagrange 动力学，Hamiltonian 力学等等。这一阶段的画风是这样的

一切经典理论均可由如下原理生成：

这里面是作用量，被称为 Lagrangian。为了得到 Maxwell 电磁理论，你只需要，为了得到广义相对论，你只需要。是的，你只要指定一个 Lagrangian，然后上述原理就可以自动给你生成一个理论。

这看上去好像用处不是非常大。事实上在牛顿那个年代之后不久，这种方法的雏形就已经出现了。不过真正让它焕发光彩的是 1918 年（正好100年前）的一件大事：著名数学物理学家 Emmy Noether 提出了 Noether 定理，这一定理利用上述原理证明了 Lagrangian 的对称性可以导致守恒量。

这是非常强大的一条数学定理。要知道，物理学的对称性几乎就等同于普适性，而普适性是一套理论作为科学理论的底线级要求。所以，这条定理几乎就是在说任何物理理论里均存在守恒量，并且只要你写出 Lagrangian，我们就能用一套标准流程把这些守恒量找出来！

一个重要的例子就是能量。能量是与时间对称性绑定的一个守恒量，或者换句话说，我们会把能量定义为与时间对称性相关联的那个守恒量。更具体一点，我们写出一个具有时间对称性的 Lagrangian，Noether 定理就能给出一个对应的守恒量，而这个量就被定义为能量。自此，能量守恒便不再是所谓的经验定律，而是一条有严格证明的定理。

除了上述的两个经典的 theory generator，现在我们熟知的量子力学（当然你得把 Schroedinger 方程写成这样的抽象形式），量子场论，以及曾经火过两回的弦理论，都是 theory generators。它们当中都有类似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 这一类的抽象的量，在给定这些量的情况下，就自动生成理论。

总结来说，我们最早根据实验得到了一些定律，然后发现定律之间有共同点，于是把这些定律抽象成了理论，然后又发现理论之间也有共同点，于是又抽象成了 theory generator。反过来，给定 theory generator 里面所需要的量，它就会自动给我们生成理论，将理论应用于不同的情景，我们又可以获得具体的一些定律。

其实现在 theory generators 的威力还远不止于此。不过这已经涉及到目前最前沿的理论物理。

一般的 Lagrangian 是某个动力学变量（比如粒子的位置或者某个场 )以及它的导数（比如速度或者场的梯度）的函数。我们通常把含导数的项称为动能项，其余的称为势能项。

先来看动能项。我们发现无论是哪一种理论，动能项往往能够被写成一阶导数的平方，比如通常经典力学里的动能项就是速度的平方，再比如标量场的动能项也是一阶导数的平方。个别例子中有出现仅仅是一阶导数，没有平方，比如 Dirac 场的动能项。不过无论如何，我们基本没有见过动能项中含有超过两个求导算子的情况。这并不是偶然，因为如果动能项中含有超过两个求导算子，就会造成一种被称为 Ostrogradsky Instability 的现象。

具体来说，就是这样的理论会允许物理系统可以有一直到负无穷的能量。为了理解这一点，我们需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 经过一个简单的变换生成的，它的主要作用是告诉你这个系统的能量可以取哪些值。举个例子，一个经典的自由粒子的 Hamiltonian 是，其中是动量，是质量。动量可以从一直取到，此时 Hamiltonian 可以取，也就告诉你自由粒子的能量一定是的。

但是如果你的 Lagrangian 中含有超过两个求导算子，那么我们可以证明，Hamiltonian 会出现如下的形式

其中是某种动量（术语上叫广义动量），是某个坐标。这个时候我们发现如果可以随意在中取值，那么 Hamiltonian 的范围也是。这就造成了一个严重的问题，如果能量没有下界，那么这个系统（或者其中一部分）就会无止境地向能量较低的状态去演化，从而造成强烈的不稳定性，这是不可接受的。

因此，现在主流的基本理论都只含有两个一下的求导算子。含超过两个求导算子的理论其实也存在，比如用于解决某些特定问题的宇宙学模型。不过在这种情况下，我们会被迫引入一系列约束条件来消除 Ostrogradsky instability。如果你希望你的理论具有一定的普适性，这么做其实得不偿失。不过针对某些特定问题有时候还是有点用。

再来看势能项。势能项只包含我们的动力学变量（比如坐标或者某个场），因此我们可以将其进行展开（类似于微积分里面的 Taylor 展开）。展开之后具有幂级数的形式

每一个之前都会有一个系数，这个系数控制了对应的相互作用的强度。比如，我们知道弹簧系统的势能项是

这并不意味着其它的项前面的系数都是0，它们可能只是很小，从而使得相应的相互作用很弱因而被忽略。

这个系数的量纲是一个很值得说道的东西。在这之前我们需要知道自然单位制，没见过的同学看文末[1]。在量子场论中，这个系数并不是标准的“常数”，而是一个会随系统能标（可以是系统总能量，或者其中某个实体的能量）而变化的一个量。也就是说，相互作用的强度会随着能标而变化。

如果某个项的系数具有正的质量量纲，比如标量场论中，系数是，质量量纲是+2，那么它的强度会随着能标的下降而上升，这种项被称为 relevant；反过来，如果系数具有负的质量量纲，比如引力常量，那么它的强度会随着能标的下降而下降，这种项被称为 irrelevant。而没有量纲的被称为 marginal。

这个事情有什么用呢？通常情况下我们的能标是较低的，至少我们目前还不能做到让一个系统达到任意能标。在较低能标的情况下，所有 relevant 的项具有较高的强度，所有 irrelevant 的项具有较低的强度。因此我们只需要考虑 relevant 的项即可。

在场论中，Lagrangian 的量纲是+4，标量场是+1，因此的项就是 marginal 了，及以上就是 irrelevant 了。于是低能情况下我们只需要考虑至多3个项。这个结论对于很多理论均适用，也即 relevant 的项总是有限个，因此低能下只需要考虑有限个势能项。

所以这是不是意味着我们通常是见不到这些 irrelevant 的项的作用呢？并不是。在高能标下，一切都要倒过来，也即 relevant 项会很弱，而 irrelevant 项很强。要获得高能标，除了注入能量以外还可以注入质量。所以在注入足够多质量以后，我们发现了 irrelevant 项的作用 —— 这就是引力。引力相互作用的系数是引力常量，具有负的质量量纲。

希望大家可以感受到现代理论物理工具的强大。通过 theory generators，我们可以高屋建瓴地做一些判断，可以得到一些对许多理论都适用的结论。我们不需要知道Lagrangian 太多的细节，就可以根据 Noether 定理断言守恒量的存在。对于量子场论甚至弦理论这样的 generators 也一样。我们现在对弦理论依然知之甚少，不过已经足以让我们推测量子引力和量子纠缠很可能是一回事（所谓的 ER=EPR）。我们可以对 Lagrangian 进行细致的分析，从而判断出怎样的形式会带来怎样的结果。因此，对于现在的理论物理学家来说，与其说我们是在从现实中寻找规律从而创立理论，不如说我们在尝试设计一些理论。正如我们提到的，Lagrangian 不是可以随便写的，否则就要出问题。这些探索的经验让我们知道，这个自然界之所有有这些规律，这些规律之所以是这些形式，都是有更深层次的原因的。这也是为什么理论物理吸引了如此多的顶级智力为之工作。

[1] 在自然单位制下，。也就是说，我们把长度单位定义为光在1秒内走过的距离，这样光速的值就是1。这样一来我们有，也就是说从量纲角度上讲，长度和时间的量纲是一样的。同理根据我们有。这个故事就是告诉你长度，时间，质量三个量纲，现在我们只需要一个，这里我们选质量。