Coding Theory where the alphabet is identified with the elements of a ring or a module has become an important research topic over the last 30 years. Such codes over rings had important applications and many interesting mathematical problems are related to this line of research. It has been well established, that with the generalization of the algebraic structure to rings there is a need to also generalize the underlying metric beyond the usual Hamming weight used in traditional coding theory over finite fields. This paper introduces a new weight, called the overweight, which can be seen as a generalization of the Lee weight on the integers modulo $4$. For this new weight we provide a number of well-known bounds, like a Plotkin bound, a sphere-packing bound, and a Gilbert-Varshamov bound. A further highlight is the proof of a Johnson bound for the homogeneous weight on a general finite Frobenius ring.


翻译:字母与环或模块要素的编码理论在过去30年中已成为一个重要的研究课题。这些环的编码有重要的应用,许多有趣的数学问题与这一研究线有关。已经确定,随着代数结构对环的概括化,还需要将基本指标比传统编码理论中用于有限域的传统编码理论中通常的含汞重量范围加以概括。本文引入了一种新的重量,称为超重,可被视为李对整数的重量的概括,即4美元。对于这一新重量,我们提供了一些众所周知的界限,如普洛金捆绑、球状捆绑和吉尔伯特-瓦尔沙莫夫捆绑。另一个突出的例子是强生在一般限定的Frobenius环上以同质重量捆绑在一起的证据。

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