荷马大定理 -《数学大爆炸》 | 哈哈，这些关于数学的幽默(2018.8.10)
如果您关注【遇见数学】的《哈哈，这些关于数学的幽默》系列，每天会见到下面这幅题图，动画片《辛普森一家》中男主角荷马在黑板上恶搞写下的 4 个公式，其中第二个是最有趣的内容，你可以用计算器亲自进行检验是否违反来费马大定理。《数学大爆炸》书中对此进行了详细的解释，我们来一起来欣赏这点趣味数学。
下文节选自《数学大爆炸》, 已获出版社授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!
荷马大定理
荷马黑板上的第二行也许是最有趣的一行，因为它包含下面的等式：
乍一看，这个等式平淡无奇。不过，如果你对数学史有所了解，你可能会愤怒地折断你的计算尺。荷马似乎得到了不可能得到的结果，他似乎发现了神秘而著名的费马大定理的一个解！
在大约 1637 年，皮埃尔· 德· 费马（Pierre de Fermat） 首次提出了这个定理。虽然费马是一位只在空闲时间解题的业余数学爱好者，但他却是历史上最伟大的数学家之一。他在法国南部的家中独自研究数学问题。他唯一的数学伴侣是生活在亚历山大的丢番图在公元3 世纪写下的《算术》一书。在阅读这本古希腊著作时，费马在一个章节中发现了下面的方程：
这个方程与毕达哥拉斯定理关系密切，但丢番图对三角形及其边长不感兴趣。相反，他邀请读者寻找这个方程的整数解。费马对于寻找这种解所需要的技巧已经非常熟悉了。他知道，这个方程有无数个解。这些所谓的毕达哥拉斯三元组的解包括：
费马对丢番图的问题感到厌倦，因此他决定对这个问题做出改动。他希望找到方程
的整数解。
费马绞尽脑汁，但他只能找到包含零的平凡解，比如0³+7³=7³。当他试图找到更有意义的解时，他所得到的最好的等式差了一个1，比如 6³+8³=9³-1。
此外，当费马进一步提高x、y 和 z 的幂次时，他的求解努力一次又一次地碰壁。他开始觉得下列方程没有整数解：
最终，他取得了突破。他没有找到适合上述某个方程的任何一组数字，但他证明了这样的解是不存在的。他在丢番图《算术》一书的页边用拉丁文写了两个很吊人胃口的句子。他首先指出，上面无数个方程中的任何一个都没有整数解。接着，他自信地加上了第二句话：“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.”（ 我发现了一个非常神奇的证明方法，但是这里的页边太窄，写不下了。）
皮埃尔·德·费马发现了一个证明方法，但他不屑于将其写下来。这也许是数学史上最令人沮丧的注释了。而且，费马还把他的秘密带进了坟墓。
费马的儿子克莱芒·萨米埃尔（Clément-Samuel）后来发现了父亲的《算术》一书，并且注意到了这个令人感兴趣的页边注释。他还发现了许多类似的页边注释，因为费马习惯于声称自己可以证明某个值得注意的结论，但他很少写下证明过程。克莱芒·萨米埃尔决定将这些注释保留下来，他在1670 年出版了《算术》的新版本，其中包含了他的父亲在原始文本上写下的所有页边注释。从此，数学界开始寻找书中缺失的所有证明过程。人们一个接一个地证明了费马当初的说法。不过，没有人能够证明方程 x^n+y^n=z^n（n>2）无解。于是，这个方程被称为费马最后的定理， 即费马大定理，因为它是费马唯一未被证明的说法。随着时间的推移，人们一直无法证明费马大定理，因此这个定理变得更加有名，人们证明它的愿望也变得更加强烈。实际上，到了19 世纪末， 这个问题已经引起了数学界以外许多人的兴趣。例如，德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl）1908 年去世时，他捐出了10 万马克（相当于今天的100 万美元），用于奖励费马大定理的证明者。根据一些人的说法，沃尔夫斯凯尔厌恶他的妻子和其他家庭成员，因此他想用遗嘱来冷落他们并奖励数学家，因为他一直非常喜爱数学。其他一些人认为，沃尔夫斯凯尔希望通过这个奖项来感谢费马，因为据传当他徘徊在自杀边缘时，他对这个问题的兴趣使他获得了活下去的理由。
不管动机为何，沃尔夫斯凯尔奖使费马大定理获得了公众的关注。到了最后，它甚至成了流行文化的一部分。在亚瑟·波格斯（Arthur Porges）1954 年的短篇小说《魔鬼和西蒙·弗拉格》中， 英雄弗拉格与魔鬼订立了一个浮士德式的约定。要想拯救自己的魂，弗拉格唯一的希望就是提出一个令魔鬼无法回答的问题。因此，他请对方证明费马大定理。魔鬼在认输后说道：“你知道吗？就连远远领先于地球的其他星球上最优秀的数学家都无法解决这个问题。土星上有个小伙子，他似乎是少有的天才。他可以通过口算得到偏微分方程的解。不过，就连他也放弃了对费马大定理的证明。”
费马大定理同样出现在了小说（斯蒂格·拉尔森的《玩火的女孩》）、电影（布兰登·弗雷泽和伊丽莎白·赫利的《神鬼愿望》） 和戏剧（汤姆·斯托帕德的《阿卡迪亚》）中。关于这个定理最有名的桥段也许出现在1989 年《星际迷航：下一代》的“皇室血统” 一集中。当时，让- 卢克·皮卡德上校（Captain Jean-Luc Picard） 在剧中将费马大定理称为“我们也许永远无法解决的问题”。不过， 事实证明，皮卡德上校的说法是错误的，因为这一集的情节设置在 24 世纪，但普林斯顿大学的安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles） 已经在1995 年证明了费马大定理。
威尔斯从十岁时起就梦想着解决费马留下来的问题。他对这个问题痴迷了 30 年。到最后，他在完全保密的情况下研究了 7 年时间。最终，他证明了方程 x^n+y^n=z^n（n>2）无解。他所发表的证明过程长达130 页，上面写满了数学公式。这件事的有趣之处在于，一方面，它说明威尔斯的成果具有庞大的规模；另一方面，威尔斯的逻辑链条过于复杂，不可能在17 世纪被人发现。实际上，威尔斯使用了许多现代工具和技巧，因此他对费马大定理的证明过程不可能是费马头脑中的那个证明过程。
英国广播公司2010 年的电视剧《神秘博士》提到了这一点。在“危急时刻”一集中，演员马特·史密斯（Matt Smith）作为重生的第十一任博士首次亮相，他必须向一群天才证明他的身份， 以便说服他们接受他的建议，拯救世界。当他们即将拒绝他时， 博士说道：“在你们拒绝我之前，看看这个。费马定理的证明方法。我是说真正的证明方法。人们从未见过它。”换句话说，博士默认了威尔斯的证明方法，但他觉得那不是费马“真正的”证明方法。这种观点是有道理的。也许，博士回到了17 世纪，直接从费马那里拿到了证明方法。
现在让我们来总结一下。在17 世纪，皮埃尔·德·费马声称， 他可以证明方程x^n+y^n=z^n（n>2）没有整数解。1995 年，安德鲁·威尔斯发现了一种新的证明方法，验证了费马的结论。2010 年，神秘博士揭示了费马最初的证明方法。每个人都相信，这个方程是无解的。
因此，在“常青平台的巫师”中，荷马似乎否定了近四个世纪以来世界上最伟大的头脑得出的结论。费马、威尔斯甚至神秘博士都认为费马的方程是无解的，但荷马却在黑板上给出了一个解：
你可以用计算器亲自进行检验。计算 3,987 的12 次方，将其与 4,365 的12 次方相加，然后计算结果的12 次方根，你就得到了 4,472。
至少，这是你在任何只能显示十个数位的计算器上得到的结果。不过，如果你拥有更精确的计算器，如果它能够显示十几个数位，你就会得到不同的答案。实际上，如果将第三项计算得更加准确，这个等式应该近似写成：
这究竟是怎么回事呢？实际上，荷马的等式是费马方程的近似解，这意味着3,987、4,365 和 4,472 几乎可以使方程成立—— 等号左右两边的差异几乎可以忽略。不过，在数学上，一个方程要么有解，要么没有解。近似解实际上并不是解，这意味着费马大定理仍然成立。
戴维· S. 科恩和观众开了一个数学玩笑。如果观众的反应足够快，并且拥有足够的知识，他们就可以发现这个等式，并且意识到它与费马大定理之间的联系。当这一集在1998 年播出时， 威尔斯的证明方法已经发表了三年，因此科恩非常清楚费马大定理已被攻克的事实。他本人与这个证明之间还存在一定的联系，因为他在加州大学伯克利分校读研期间听过肯·里贝特（Ken Ribet）的讲座，而里贝特为威尔斯对费马大定理的证明提供了一个重要工具。
科恩显然知道费马的方程无解，但他希望找到一个非常近似的解，这个解在仅仅使用简单的计算器进行检验时似乎可以使方程式成立。他想用这种方式向皮埃尔·德·费马和安德鲁·威尔斯致敬。为了找到这个近似解，他写了一个计算机程序，以便对x、y、z 和 n 的值进行扫描，找到可以使方程式近似成立的数值。最终， 科恩选择了
个解，因为它的误差范围很小——等式左边只比右边大0.000000002%。
这一集播出以后，科恩立即查看了网上留言板，看看是否有人注意到了他的恶作剧。他最终发现了这样一条帖子：“我知道这违反了费马大定理，但我用计算器进行了检验，发现它是成立的。这到底是怎么回事？”
意识到全世界的青年数学家有可能对他的数学悖论产生兴趣，他感到很愉快：“我很高兴，因为我的目标是获得足够的精度，使人们无法通过计算器发现这个等式的错误。”
科恩对于他在“常青平台的巫师”中设计的板书内容非常自豪。实际上，他在许多年里引入《辛普森一家》的所有趣味数学内容使他获得了极大的满足感：“我对此感到很高兴。当你在电视领域工作时，你在瓦解社会既有价值观，因此你很难对自己的工作感到满意。所以，当我们有机会提升节目的层次时——尤其是有机会赞美数学时——这些工作抵销了我编写那些三句不离屎尿屁的笑话时产生的罪恶感。”(完）
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