第36届CMO考题出炉，附解题过程，周末公布400名选手成绩
作者 质心教育数学组
转载自 微信公众号“数学联赛”
第36届全国中学生奥数竞赛（CMO）本周拉开帷幕，来自全国各地的400多名中学生齐聚长沙，进行了连续两天的考试。
目前6道试题已经全部出炉，本周末将公布选手成绩。下面，为大家带来本次两日考试的完整试题，附质心教育数学组独家评析。（注：试题以官方公布为准）
试题评析
是复数数列, 奇数项为实数, 偶数项为纯虚数, 且 , . 记
评析1. 本届CMO的P1并不难, 第一问基本上十分钟内就算出来了, 第二问可能难一点点, 大概十五分钟的样子. 这个题读完后基本可以反应过来第一问中 取极小值时 的幅角应该是 如此循环的样子. 而 的条件也可知这个题除了 正负号的选择之外也只有一个维度. 所以不妨设 , 然后显然 , . 所以最后
2. 给定正整数 . 求正整数 的最小值, 使得对于任意整数 ; , 存在整数 , 满足以下两个条件:
(1) , 使得 与 互素;
(2)
评析2. 这个题看上去像个数论题, 但是基本是个代数题. 首先比较明显的是在模 的意义下做构造一组 使得中间有一个与 互素, 没这个互素条件是显然的, 有的话感觉只能用CRT把模 分解成模一堆素数幂做, 完后再用CRT拼起来. 那假设 的话, 我们基本考虑的是方程
但是另一方面, 如果我们考虑 , 而 , 其它 都是 的话, 那么方程(1)的意思就是 , 且 , 于是所有原方程的解都找不到有哪个 与 互素, 也就是说上面用解空间或自由度的想法搞出来的 的答案应该是对的. 所以接下来要考虑 怎么证了.
懒得想的话一步步从 到 再到 拼合起来慢慢证明一堆引理来把所有我们想搞解空间的坑都填上. 不过个人估计现场考生大多不会用这个方法做, 能想这个方法的小朋友不用多想也知道这是个耗时耗力的笨方法, 而且这些小朋友应该还是可以做做P3的, 他们绕道而走应该基本上就是必然的... 退而求其次可以直接按照解空间的那套想法可以想到的操作可以是直接构造解, 比如我们总可以构造出方程(1)在 个位置都不为 的解, 其中可能要搞一点线性无关的论证, 于是原方程的解就可以由至少 个位置上模任何 都不为 的一组 用CRT构造出来一组在至少 个位置上的数都与 互素的 .
这里当然有别的方法, 比如我们还可以考虑把 当成一个集合, 那么可以考虑算欧拉函数的方法来算一下原方程的解在这个集合中最多要占多少个点, 最后用 减一下要大于 即可. 不过这个方法感觉会变成一个巨麻烦的组合计数, 最后还有一堆 和 互变的操作, 大概会算到崩溃.
3. 已知正整数 , 恰有 个不同的质数整除 . 对 , 记 中与 互质的整数个数为 . 已知 不完全相同, 求证:
评析3. 第一反应是 的素因子有没有 要分开讨论, 先按照 的想法搞一搞. 第二反应是这五个区间中的数的个数要按 的素因子讨论. 首先假设 的素因子为 , 这里欧拉函数的公式没法直接用, CRT构造欧拉函数的方法也没法用, 所以只能搞一下容斥. 也就是说, 比如我们定义的话, 就有
显然若 的话就有 , 那么我们简化定义 , 于是
然后我们来对任意正整数 来研究 . 这里显然有 , 那么我们对 看一看就是下表:
| m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| c(1,m) | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| c(2,m) | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| c(3,m) | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| c(4,m) | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| c(5,m) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
第五行是废的, 这里也告诉我们 的情况要显掉. 所以直接看 的情况.
我们这里搞出来了所有 , 于是现在就是要加一下这些东西了. 现在的问题就是要考虑所有 中模 余 的分别有多少. 由于我们现在考虑的是 的情况, 我们不如把 和这堆 全部换成模 意义下的 和 , 然后就是要看 这些数里面模 的都有多少, 或者说看 的所有展开项中模 余 的项分别有多少, 不过这里看的是 的相差, 所以直接扔掉 也是可以的.
由于直接拆 也拆不动, 所以这里只能绕一下, 搞个单位根. 随便取 或者 , 反正是模 的原根, 然后取 , 于是原问题变成 的拆项的余数情况, 记这个式子为 . 由于每个 模 的余数只跟 模 的结果有关, 所以这里就变成 展开之后模 余 的项数分别多少, 这个就... 搞 , , , 拼拼凑凑就出来了, 莫名其妙出了一步常规一试操作... 然后就是倒回去狂算估计, 只是可能要手动把 倒回去变成 再变成 再过一步 的操作, 过于绕.
最后, 还有一个 的情况. 由于 到 不全相同, 所以不能有 . 于是我们假设 , 则由于 只要 就全是 的话, 那所有交错求和中带 的就全部怼掉了, 那你们这个题就考虑把 换成 都可以.
4. 锐角 的外接圆为 , 为劣弧 中点, 为 的对径点. 过 作 , 交 于 , 交 延长线于 . 直线 交直线 于 , 直线 交直线 于 . 求证:
评析4. 我们首先导一导角, 由 得
, 只需证明
经观察与猜想, 我们下面证明 , .
容易知道该结论等价于 , . 事实上, 我们有 , .
所以接下来我们只需说明 , 另一侧同理可得. 首先
于是得到 . 于是 .
5. 是一个凸多面体, 满足以下两个性质:
(1) 的每一个顶点恰好属于三个不同的面;
(2) 对任意 , 中的 边形面都恰好有偶数个.
有一只蚂蚁从某条棱的中点出发, 沿棱爬行, 走一条闭合路径 , 经过 上每一个顶点恰好一次, 最终回到出发点. 将 的表面分为两部分, 使得对任意的 , 两部分中 边形面的个数相等. 求证: 蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等.
评析5. 发现群里考了CMO的小朋友有两个没理解啥叫爬了一个不自交的回路之后将 分为两个部分... 就, 日常有点迷惑, 因为我之前一试题还挺喜欢问个正多面体沿着棱剪开成两个部分啥的...
然后这个题还有另一个比较迷惑的部分, 就是, 十二点半刚考完的时候大家都在等题, 在题目出来之前倒是先出了一些说法, 比如P5是立体几何????? 然后题目出来教练群全员傻眼??????? u1s1, 图论和立体几何都分不清楚真的不知道怎么混进CMO的????? (上述三句问号是一个俳句问号)
就, 没办法的话就举个例子想想就好了, 实在不行画个正四面体想想, 我这里画个正十二面体吧.
立方体问题除了欧拉公式我们也没啥可用的, 而欧拉公式反正也是个图论问题, 证明重点在于首先抠掉一个面撑一撑然后把整个立方体biā到平面上. 这里想法一样, 就把剪开的两半biā到平面上就好了 (摊手).
然后总体想法就是对两半的 列式就好了, 其中 要精细一点分为内点 , 右转拐点 和左转拐点 . 首先对两半每个点的degree列个式子:
6. 求所有函数 , 使得 , 都有
评析6. 首先猜解 和 . 比较好想的是右边的 太自由, 一下子可以冒出两招, 一个是固定 然后取素数 足够大, 再另 , 另一个是若 , 则取大 满足 , 则 和 都要整除 . 第二个感觉好麻烦, 要分三类讨论, 先来试试第一种想法.
记 . 先考虑 , 那么取 就有 , 即 或 . 如果是前者, 那么就是存在至少一个 满足 . 于是我卡死了.
那就考虑第二个想法, 设 , 则 整除 和 , 于是 . 但这里 是任意的, 若 , 则 有界. 于是分两情况考虑, 也就是 是单射和 有界, 感觉上分别对应 和 , 前者简单, 先考虑前者吧.
就, 回到最开始想的那个阴间 , 于是 对任意 成立, 于是, 整除号换不等号, 然后搞单射逼出 . 然后就归纳证明 . 由于 , 若 就有 与单射矛盾. 所以只能 .
若 只是有界的, 那么我们的目标是 . 基本操作是考虑像集 . 那么回到 这一步, 我们钉死这个 , 那么对任意 就有 . (此处感谢秒6老师的讨论给我带来的灵感,) 我们考虑哪些 是可以存在无穷多个 满足 . 显然这些 应该都是 的约数, 故有限. 我们考虑这些 的最小公倍数 .
首先取 , 那么 到 , 这 个数都整除 , 所以 时它们不可能两两不同, 于是 , 于是 矛盾, 于是 .
当 时, 对 都有 . 再回去 这茬儿意思就是说对 时都有 . 那么这里得到一个奇怪的解当 时 而 随便取.
当 时, 如果有 的就会完全回到上一步就是上一个解. 如果对够大的 有 的话, 那么这个够大按照 的定义就是 时有 . 而当 时 只能取 , 于是 就只有两种情况: 大于等于 的部分 奇 , 偶 , 或者反过来. 对反过来的情况, 取 就有 , 矛盾. 所以只能 奇 , 偶 . 取 , , 就有 , 再把 换成 就变成 , 所以 . 也就是说这里得到一组解 的部分 偶 , 奇 , 而 为任意奇数.
然后就胡扯验证三组解blahblah完事儿. (不过u1s1, 我这写得太绕了, 所以正经写答案估计要写成一堆反证+类似于无穷递降的操作.)
— 完 —
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