The Burer-Monteiro method is one of the most widely used techniques for solving large-scale semidefinite programs (SDP). The basic idea is to solve a nonconvex program in $Y$, where $Y$ is an $n \times p$ matrix such that $X = Y Y^T$. In this paper, we show that this method can solve SDPs in polynomial time in a smoothed analysis setting. More precisely, we consider an SDP whose domain satisfies some compactness and smoothness assumptions, and slightly perturb the cost matrix and the constraints. We show that if $p \gtrsim \sqrt{2(1+\eta)m}$, where $m$ is the number of constraints and $\eta>0$ is any fixed constant, then the Burer-Monteiro method can solve SDPs to any desired accuracy in polynomial time, in the setting of smooth analysis. Our bound on $p$ approaches the celebrated Barvinok-Pataki bound in the limit as $\eta$ goes to zero, beneath which it is known that the nonconvex program can be suboptimal. Previous analyses were unable to give polynomial time guarantees for the Burer-Monteiro method, since they either assumed that the criticality conditions are satisfied exactly, or ignored the nontrivial problem of computing an approximately feasible solution. We address the first problem through a novel connection with tubular neighborhoods of algebraic varieties. For the feasibility problem we consider a least squares formulation, and provide the first guarantees that do not rely on the restricted isometry property.


翻译:Burer- Monteiro 方法是用来解决大型半确定性程序(SDP)的最广泛使用的技术之一。 基本的想法是用美元解决一个非默认程序, 美元是美元, 美元是美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元。 在本文中, 我们显示, 这种方法可以在一个平滑的分析环境中, 在多式分析时间里解决SDP。 更确切地说, 我们考虑的是一个SDP, 它的域符合一些缩缩略和平滑的假设, 略微渗透成本矩阵和限制。 我们显示, 如果$\gtrsim\sqrt{2 (1)\\\ eta)m}, 美元是美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元。 美元= 美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=美元=一个固定不变的基数。 在平稳的分析中, 我们的绑定美元为“ ” 以美元表示, 以美元为美元为最起码的“ 美元” 直数”, 直值表示, 我们无法进行一个“ 直数” 解算。

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