数学：微积分的发明

2019 年 5 月 3 日 算法与数学之美

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微积分创立之前的数学工具，研究对象和解决的问题都是属于静态的，就是所谓积分的方法。精确而瞬时的动态计算必然要涉及到微分的概念。所以，将微分和积分的理论统一起来的微积分学，本质上是一种运动的数学。

作为一门学科，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。而在我国的《庄子·天下篇》中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念，正是微分学的基础思想。

17世纪初期，伽利略和开普勒在天体运动中所得到的一系列观察和实验结果，导致科学家们对新一代数学工具的强烈需求，也激发了新型数学思想的诞生。从大量的数据中，如何才能抽象出大自然的秘密，也就是物体的运动规律来呢？

在伽利略的时代，已经有了速度的概念。那时的科学家们已经知道运动距离与运动时间相除得到速度。如果物体运动的快慢始终一样，那就叫匀速运动，否则就是非匀速运动。伽利略在实验中发现，在地球引力持久作用下物体的运动，快慢并非始终一致的，开始时下落得比较慢，后来则下落得越来越快。伽利略又发现，无论是在下落的开始还是最后，速度增加的效果是一样的，这也就是我们现在所熟知的说法：“地面上自由落体的运动是一种等加速度运动”。

速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度……现在学生很容易理解概念，但在当时，这些名词却曾经困惑过像伽利略这样的大师。从定义平均速度，到定义瞬时速度，是概念上的一个飞跃。平均速度很容易计算：用时间去除距离就可以了。但是，如果速度和加速度每时每刻都在变化的话，又怎么办呢？

可以相信，开普勒在总结他的行星运动三定律时，也曾经有类似的困惑。开普勒得出了行星运动的轨迹是个椭圆，他也认识到行星沿着这个椭圆轨迹运动时，速度和加速度的方向和大小都在不停地变化。但是，他尚未有极限的概念，也没有曲线的切线及法线的相关知识，不知如何描述这种变化，于是，便只好用“行星与太阳的连线扫过的面积”这种静态积分量来表达他的第二定律。

伽利略和开普勒去世后，两位大师将他们的成果和困惑留在了世界上，等待一代代杰出的数学家对新一代数学工具发起总攻，直至微积分的发明。

然而，谁也没有想到，这个划时代的重大成果竟然导致了世界科学史上的一桩公案——“微积分究竟是谁发明的？”

1684年，德国数学家莱布尼兹发表了他的微积分论文。3年后，牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》书的初版中对莱布尼兹的贡献表示认同，但是却说：“和我的几乎没什么不同，只不过表达的用字和符号不一样。”这几句话，导致和莱布尼兹产生极大的矛盾。

莱布尼兹发表论文二十年后，牛顿的流数理论正式发表。在序言中，牛顿提到1676年给莱布尼兹的信，并补充说：“若干年前我曾出借过一份包含这些定理的原稿，之后就见到一些从那篇当中抄出来的东西，所以我现在公开发表这份原稿。”这话的意思就暗指他的手稿曾经被莱布尼兹看到过，而莱布尼兹的论文就是从他的手稿中抄来的。

在今后的一百年间，关于“谁发明微积分”的真相变得扑朔迷离。现在，经过历史考证，莱布尼茨和牛顿的方法和途径均不一样，对微积分学的贡献也各有所长。牛顿注重于与运动学的结合，发展完善了“变量”的概念，为微积分在各门学科的应用开辟道路。莱布尼茨从几何出发，发明了一套简明方便使用至今的微积分符号体系。因此，如今学术界将微积分的发明权判定为他们两人共同享有。

微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。城市的繁荣，交通工具的不断进步，航空航天领域的飞速发展给人类社会带来了日新月异地变化，而这一切都离不开微积分的诞生。

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编辑 ∑Pluto

来源：科普中国

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