【柱面和二次曲面】图解高等数学-下 05

10.4 柱面和二次曲面

已经了解向量向量微积分和空间微积分所必需的两种特殊曲面, 空间的球面和平面. 现在再来看柱面和二次曲面.

柱面

柱面(cylinder)是直线(母线)沿着一条给定曲线(准线)平行移动所形成的曲面. 请见下面动图:

双曲柱面 $y^2-z^2\text{=1}$ 由平行于 x 轴并且过 yOz 平面上的双曲线 $y^2-z^2\text{=1}$ 的直线构成. 柱面在垂直于 x 轴的平面上的截线双曲线. 观察下图:

二次曲面(Second-degree Surface)

另一类曲面是二次曲面, 它是空间中 x, y 和 z 的二次方程图形, 最一般的形式是

其中 A, B, ..., K 是常数. 基本的二次曲面是椭球面, 抛物面, 椭圆锥面和双曲面.

椭球面(ellipsoid)

观察下面动图在 (±a,0,0) , (0,±b,0) 和 (0,0,±c)截坐标轴, 三个坐标平面截曲面所得曲线都是椭圆. 其中 a = 3, b =4, c=5.

椭圆抛物面(elliptic paraboloid)

关于平面 x=0 和 y=0 对称. 曲面和轴的唯一交点是原点. 除这个点外, 曲面整个在 xy 平面上(若c>0) 或下方(若c<0). 观察下面 a=4, b=2, c=1 时的椭圆抛物面:

椭圆锥(Elliptic cone)

双曲面 - 单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)

双曲面 - 双叶双曲面(Hyperboloid of two sheets)

鞍面 - 双曲抛物面(Hyperbolic paraboloid)