约束优化已经成为一个很好的研究领域,有一些强大的技术可以解决该领域的一般问题。在这本书中,考虑了一类特殊的约束,称为几何约束,它表示优化问题的解在流形上。这是一个最近的研究领域,它为更一般的约束优化方法提供了强大的替代方案。经典的约束优化技术适用于比流形大得多的嵌入式空间。因此,在流形上工作的优化算法具有较低的复杂性,而且通常还具有更好的数值特性(例如,保持能量等不变量的数值积分方案)。作者将此称为受限搜索空间中的无约束优化。

可以用流形来描述差分方程或微分方程的思想起源于布罗克特、弗拉施卡和鲁提肖瑟的工作。例如,他们描述了等谱流,这些流产生的时变矩阵彼此相似,最终收敛到有序特征值的对角矩阵。这些想法在数值线性代数领域没有像在动力系统领域那样得到那么多的关注,因为由此产生的差分和微分方程并没有立即导致有效的算法实现。

这本书对发展高阶优化技术的微分几何的进行了深入的介绍,但它仍然成功地用简单的想法解释复杂的概念。这些思想随后被用于发展牛顿型方法以及其他超线性方法,如信赖域方法和非精确和准牛顿方法,这些方法更加强调概念算法的高效数值实现。

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《现代统计学导论》是对之前的游戏《统计学与随机化和模拟导论》的重新构想。这本新书着重强调了探索性数据分析(特别是使用可视化、摘要和描述性模型探索多元关系),并提供了使用随机化和引导的基于模拟的推理的全面讨论,接着介绍了基于中心极限定理的相关方法。

第1部分:数据介绍。数据结构、变量、摘要、图形、基本数据收集和研究设计技术。 第2部分:探索性数据分析。数据可视化和总结,特别强调多变量关系。 第3部分:回归建模。用线性和逻辑回归建模数值和分类结果,并使用模型结果来描述关系和作出预测。 第4部分:推理的基础。案例研究被用来引入随机测试、bootstrap间隔和数学模型的统计推理的思想。 第5部分:统计推断。使用随机化测试、引导间隔和数值和分类数据的数学模型的统计推断的进一步细节。 第6部分:推理建模。扩展推理技术提出了迄今为止的线性和逻辑回归设置和评估模型性能。

我们希望读者能从本书中汲取三种思想,并为统计学的思维和方法打下基础。

  1. 统计学是一个具有广泛实际应用的应用领域。

  2. 你不必成为数学大师,也可以从有趣的、真实的数据中学习。

  3. 数据是混乱的,统计工具是不完善的。

地址:

https://www.openintro.org/book/ims/

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图论和组合优化之间的融合已经导致了理论深刻和实际有用的算法,但目前没有一本书同时涵盖这两个领域。《图论、组合优化和算法手册》是第一本对图论和组合优化进行统一、全面处理的书。

地址:

https://www.routledge.com/Handbook-of-Graph-Theory-Combinatorial-Optimization-and-Algorithms/Thulasiraman-Arumugam-Brandstadt-Nishizeki/p/book/9781584885955

分为11个章节,集中在图论,组合优化和算法问题。本书为读者提供了算法和理论基础:

理解由图结构形成的现象 为图结构的研究开发所需的算法和优化工具 设计和规划导致某些理想行为的图形结构

有来自40多个世界各地的专家的贡献,这本手册配备读者必要的技术和工具,以解决各种应用中的问题。读者可以接触到图论和组合优化的广泛主题的理论和算法基础,使他们能够识别(并因此解决)在不同学科中遇到的问题,如电气、通信、计算机、社会、交通、生物和其他网络。

图论和组合优化的研究在过去的三十年左右经历了爆炸性的增长。电信网络、大规模集成电路设计等技术突飞猛进;网络科学等新领域的出现强调了在社会网络和生物网络中的应用;理论计算机科学的进步都促进了图论、组合优化和相关算法问题的兴趣和知识的爆炸。因此,毫不奇怪,这些学科已经成为工程和计算机科学课程的中心角色。现在有几本关于图论或组合优化的优秀教科书。这些书大致可以分为两类。第一类是处理图论或组合优化中所有基本主题的书籍。这些书是供大四本科生和初学研究生使用的教科书。第二类是对某些特定主题进行深入探讨的书籍。它们适合那些打算从事图论或组合优化研究的学生。由于这些学科已经达到了一定的成熟水平,我们认为需要一本对图论和组合优化提供更广泛和综合处理的书。这样的一本书将帮助学生和研究人员装备自己的技术和工具,将加强他们的能力,看到机会应用图论和组合优化解决他们在应用中遇到的问题。我们多年来在教学和应用图论和组合优化方面的经验使我们相信,虽然工具和技术能提高一个人解决问题的能力,但更广泛地接触它们也能帮助个人看到其他情况下看不到的问题。

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高维概率提供了对随机向量、随机矩阵、随机子空间和用于量化高维不确定性的对象的行为的洞察。借鉴了概率、分析和几何的思想,它适用于数学、统计学、理论计算机科学、信号处理、优化等领域。它是第一个将高维概率的理论、关键工具和现代应用集成起来的。集中不等式是其核心,它涵盖了Hoeffding和Chernoff等经典不等式和Bernstein等现代发展。然后介绍了基于随机过程的强大方法,包括Slepian的、Sudakov的和Dudley的不等式,以及基于VC维的泛链和界。整本书包含了大量的插图,包括经典和现代的协方差估计、聚类、网络、半定规划、编码、降维、矩阵补全、机器学习、压缩感知和稀疏回归等结果。

这是一本教科书在高维概率与数据科学的应用展望。它是为博士和高级硕士学生和数学,统计,电子工程,计算机科学,计算生物学和相关领域的初级研究人员,谁正在寻求扩大他们的理论方法在现代研究数据科学的知识。

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近年来,深度学习已经成为机器学习和计算机视觉、自然语言处理等相关领域的中心范式。但是对这一努力的许多方面的数学理解仍然缺乏。训练何时成功,速度有多快? 用了多少例子? 各种架构的优点和局限性是什么? 本书重点研究深度学习的理论方面。

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本书提供了分布式优化、博弈和学习的基本理论。它包括那些直接从事优化工作的人,以及许多其他问题,如时变拓扑、通信延迟、等式或不等式约束,以及随机投影。本书适用于在动态经济调度、需求响应管理和智能电网插电式混合动力汽车路由等领域使用分布式优化、博弈和学习理论的研究人员和工程师。

无线技术和计算能力的进步使得理论、模型和工具的发展成为必要,以应对网络上大规模控制和优化问题带来的新挑战。经典的优化方法是在所有问题数据都可用于集中式服务器的前提下工作的。然而,这一前提不适用于由电力系统、传感器网络、智能建筑和智能制造等应用驱动的分布式环境中的大型网络系统。在这样的环境中,每个节点(agent)根据自己的数据(信息)以及通过底层通信网络从相邻的agent接收到的信息进行本地计算,从而分布式地解决大规模控制和优化问题。最终,集中式优化方法必然会走向衰落,从而产生一种新的分布式优化类型,它考虑了多个agent之间的有效协调,即所有agent共同协作,使一个局部目标函数之和的全局函数最小化。

本书研究了近年来分布式优化问题中的几个标准热点问题,如无约束优化、有约束优化、分布式博弈和分布式/分散学习等。为了强调分布式优化在这些主题中的作用,我们将重点放在一个简单的原始(次)梯度方法上,但我们也提供了网络中其他分布式优化方法的概述。介绍了分布式优化框架在电力系统控制中的应用。这本书自然主要包括三个部分。第一部分讨论了分布式优化算法理论,共分为四章:(1)多智能体时滞网络中的协同分布式优化;(2)时变拓扑多智能体系统的约束一致性;(3)不等式约束和随机投影下的分布式优化;(4)随机矩阵有向图上的加速分布优化。第二部分作为过渡,研究了分布式优化算法理论及其在智能电网动态经济调度问题中的应用,包括两章:(5)时变有向图约束优化的线性收敛性;(6)时变有向图上经济调度的随机梯度推动。第三部分对分布式优化、博弈和学习算法理论进行了分析和综合,本部分所有算法都是针对智能电网系统内的特定案例场景设计的。本部分共分三章:(7)智能微电网能源交易博弈中的强化学习;(8)不完全信息约束博弈的强化学习;(9)基于拥塞博弈的插电式混合动力汽车路径选择强化学习。其中,给出了仿真结果和实际应用实例,以说明前面提出的优化算法、博弈算法和学习算法的有效性和实用性。

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本书是信息论领域中一本简明易懂的教材。主要内容包括:熵、信源、信道容量、率失真、数据压缩与编码理论和复杂度理论等方面的介绍。

本书还对网络信息论和假设检验等进行了介绍,并且以赛马模型为出发点,将对证券市场研究纳入了信息论的框架,从新的视角给投资组合的研究带来了全新的投资理念和研究技巧。

本书适合作为电子工程、统计学以及电信方面的高年级本科生和研究生的信息论基础教程教材,也可供研究人员和专业人士参考。

本书是一本简明易懂的信息论教材。正如爱因斯坦所说:“凡事应该尽可能使其简单到不能再简单为止。''虽然我们没有深人考证过该引语的来源(据说最初是在幸运蛋卷中发现的),但我们自始至终都将这种观点贯穿到本书的写作中。信息论中的确有这样一些关键的思想和技巧,一旦掌握了它们、不仅使信息论的主题简明,而且在处理新问題时提供重要的直觉。本书来自使用了十多年的信息论讲义,原讲义是信息论课程的高年级本科生和一年级研究生两学期用的教材。本书打算作为通信理论.计算机科学和统计学专业学生学习信息论的教材。

信息论中有两个简明要点。第一,熵与互信息这样的特殊量是为了解答基本问题而产生的。例如,熵是随机变量的最小描述复杂度,互信息是度量在噪声背景下的通信速率。另外,我们在以后还会提到,互信息相当于已知边信息条件下财富双倍的增长。第二,回答信息理论问邀的答案具有自然的代数结构。例如,熵具有链式法则,因而,谪和互信息也是相关的。因此,数据压缩和通信中的问题得到广泛的解释。我们都有这样的感受,当研究某个问题时,往往历经大量的代数运算推理得到了结果,但此时没有真正了解问题的全莪,最终是通过反复观察结果,才对整个问题有完整、明确的认识。所以,对一个问题的全面理解,不是靠推理,而是靠对结果的观察。要更具体地说明这一点,物理学中的牛顿三大定律和薛定谔波动方程也许是最合适的例子。谁曾预见过薛定谔波动方程后来会有如此令人敬畏的哲学解释呢?

在本书中,我们常会在着眼于问题之前,先了解一下答案的性质。比如第2章中,我们定义熵、相对熵和互信息,研究它们之间的关系,再对这些关系作一点解释·由此揭示如何融会贯通地使用各式各样的方法解决实际问题。同理,我们顺便探讨热力学第二定律的含义。熵总是增加吗?答案既肯定也否定。这种结果会令专家感兴趣,但初学者或i午认为这是必然的而不会深人考虑。

在实际教学中.教师往往会加人一自己的见解。事实上,寻找无人知道的证明或者有所创新的结果是一件很愉快的事情。如果有人将新的思想和已经证明的内容在课堂上讲解给学生,那么不仅学生会积极反馈“对,对,对六而且会大大地提升教授该课程的乐崆我们正是这样从研究本教材的许多新想法中获得乐趣的。

本书加人的新素材实例包括信息论与博弈之间的关系,马尔可夫链背景下热力学第二定律的普遍性问题,信道容量定理的联合典型性证明,赫夫曼码的竞争最优性,以及关于最大熵谱密度估计的伯格(回定理的证明。科尔莫戈罗夫复杂度这一章也是本书的独到之处。面将费希尔信息,互信息、中心极限定理以及布伦一闵可夫斯基不等式与熵幂不等式联系在一起,也是我们引以为豪之处。令我们感到惊讶的是.关于行列式不等式的许多经典结论,当利用信息论不等式后会很容易得到证明。

自从香农的奠基性论文面世以来,尽管信息论已有了相当大的发展,但我们还是要努力强调它的连贯性。虽然香农创立信息论时受到通信理论中的问题启发,然而我们认为信息论是一门独立的学科,可应用于通信理论和统计学中。我们将信息论作为一个学科领域从通信理论、概率论和统计学的背景中独立出来因为明显不可能从这些学科中获得难以理解的信息概念。由于本书中绝大多数结论以定理和证明的形式给出,所以,我们期望通过对这些定理的巧妙证明能说明这些结论的完美性。一般来讲,我们在介绍问题之前先描述回题的解的性质,而这些很有的性质会使接下来的证明顺理成章。

使用不等式串、中间不加任何文字、最后直接加以解释,是我们在表述方式上的一项创新希望读者学习我们所给的证明过程达到一定数量时,在没有任何解释的情况下就能理解其中的大部分步,并自己给出所需的解释这些不等式串好比模拟到试题,读者可以通过它们确认自己是否已掌握证明那些重要定理的必备知识。这些证明过程的自然流程是如此引人注目,以至于导致我们轻视了写作技巧中的某条重要原则。由于没有多余的话,因而突出了思路的逻辑性与主題思想u我们希望当读者阅读完本书后,能够与我们共同分亨我们所推崇的,具有优美、简洁和自然风格的信息论。

本书广泛使用弱的典型序列的方法,此概念可以追溯到香农1948年的创造性工作,而它真正得到发展是在20世纪70年代初期。其中的主要思想就是所谓的渐近均分性(AEP),或许可以粗略地说成“几乎一切事情都是等可能的"

第2章阐述了熵、相对熵和互信息之同的基本代数关系。渐近均分性是第3章重中之重的内容,这也使我们将随机过程和数据压缩的熵率分别放在第4章和第5章中论述。第6章介绍博弈,研究了数据压缩的对偶性和财富的增长率。可作为对信息论进行理性思考基础的科尔莫戈罗夫复杂度,拥有着巨大的成果,放在第14章中论述。我们的目标是寻找一个通用的最矩描述,而不是平均意义下的次佳描述。的确存在这样的普遍性概念用来刻画一个对象的复杂度。该章也论述了神奇数0,揭示数学上的不少奥秘,是图灵机停止运转概率的推广。第7章论述信道容量定理。第8章叙述微分熵的必需知识,它们是将早期容量定理推广到连续噪声信道的基础。基本的高斯信道容量问题在第9章中论述。第il章阐述信息论和统计学之间的关系,20世纪年代初期库尔贝克首次对此进行了研究,此后相对被忽视。由于率失真理论比无噪声数据压缩理论需要更多的背景知识,因而将其放置在正文中比较靠后的第10章。

网络信息理论是个大的主题,安排在第巧章,主要研究的是噪声和干扰存在情形下的同时可达的信息流。有许多新的思想在网络信息理论中开始活跃起来,其主要新要素有干扰和反馈第16章讲述股票市场,这是第6章所讨论的博弈的推广,也再次表明了信息论和博弈之间的紧密联系。第17章讲述信息论中的不等式,我们借此一隅把散布于全书中的有趣不等式重新收拢在一个新的框架中,再加上一些关于随机抽取子集熵率的有趣新不等式。集合和的体积的布伦一闵可夫斯基不等式,独立随机变量之和的有效方差的熵幂不等式以及费希尔信息不等式之间的美妙关系也将在此章中得到详尽的阐述。

本书力求推理严密,因此对数学的要求相当高·要求读者至少学过一学期的概率论课程且有扎实的数学背景,大致为本科高年级或研究生一年级水平。尽管如此,我们还是努力避免使用测度论。因为了解它只对第16章中的遍历过程的AEP的证明过程起到简化作用。这符合我们的观点,那就是信息论基础与技巧不同,后者才需要将所有推广都写进去。

本书的主体是第2,3,4,5,7,8,9,10,11和巧章,它们自成体系,读懂了它们就可以对信息论有很好的理解。但在我们看来,第14章的科尔莫戈罗夫复杂度是深人理解信息论所需的必备知识。余下的几章,从博弈到不等式.目的是使主题更加连贯和完美。

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科学和工程中的许多问题都可以换种说法,即具有流形结构的矩阵搜索空间的优化问题。这本书展示了如何利用这些问题的特殊结构来开发有效的数值算法。它是应用数学家和计算机科学家感兴趣的。

科学和工程中的许多问题都可以换种说法,即具有流形结构的矩阵搜索空间的优化问题。这本书展示了如何利用这些问题的特殊结构来开发有效的数值算法。它把重点放在了算法的数值公式和它的微分几何抽象上——说明好的算法是如何从微分几何、优化和数值分析的洞察力中同等地得出的。另外两个理论章节为读者提供了算法发展所必需的微分几何背景。在其他章节中,几个著名的优化方法,如最速下降法和共轭梯度法被推广到抽象流形。这本书提供了这些方法中的每一个的一般发展,建立在几何章节的材料上。然后,它指导读者通过计算,把这些几何公式的方法变成具体的数值算法。在数值线性代数中特征空间问题的选择问题中,所给出的最先进的算法与现有的最佳算法是有竞争力的。

矩阵流形上的优化算法提供了在线性代数、信号处理、数据挖掘、计算机视觉和统计分析中广泛应用的技术。它可以作为研究生水平的教科书,对应用数学家、工程师和计算机科学家感兴趣。

Optimization Algorithms on Matrix Manifolds

https://sites.uclouvain.be/absil/amsbook/

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强化学习技术是人工智能从感知智能向决策智能发展的关键技术之一;是基于控制论、心理学、生理学、认知科学、电脑科学等多学科交叉的新兴机器学习技术。

本书是学习和研究强化学习技术的重要参考书籍,作者是日本人工智能领域知名学者、东京大学杉山将教授。

全书将统计学习和强化学习结合,从模型无关策略迭代、模型无关策略搜索、模型相关强化学习三个技术路线角度,对强化学习函数估计中的基函数设计、样本重用以及策略搜索、模型估计等做了深入浅出的介绍。本书适合于从事人工智能和机器学习研究和应用的专家学者、技术人员、研究生阅读。

本书特色:

从现代机器学习的角度介绍了统计强化学习的基本概念和实用算法,为该领域提供了最新介绍。

涵盖了各种类型的强化学习方法,包括基于模型和无模型的方法、策略迭代和策略搜索方法。

涵盖了最近在数据挖掘和机器学习领域引入的方法,以便在强化学习和数据挖掘/机器学习研究人员之间提供系统桥梁。

呈现了最新的结果,包括强化学习的维数降低和风险敏感强化学习;介绍了许多示例来帮助读者理解强化学习技术的直观性和实用性。

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凸优化研究在凸集上最小化凸函数的问题。凸性,连同它的许多含义,已经被用来为许多类凸程序提出有效的算法。因此,凸优化已经广泛地影响了科学和工程的几个学科。

过去几年,凸优化算法彻底改变了离散和连续优化问题的算法设计。对于图的最大流、二部图的最大匹配和子模函数最小化等问题,已知的最快算法涉及到对凸优化算法的基本和重要使用,如梯度下降、镜像下降、内点方法和切割平面方法。令人惊讶的是,凸优化算法也被用于设计离散对象(如拟阵)的计数问题。同时,凸优化算法已经成为许多现代机器学习应用的中心。由于输入实例越来越大、越来越复杂,对凸优化算法的需求也极大地推动了凸优化技术本身的发展。

这本书的目的是使读者能够获得对凸优化算法的深入理解。重点是从第一性原理推导出凸优化的关键算法,并根据输入长度建立精确的运行时间界限。由于这些方法的广泛适用性,一本书不可能向所有人展示这些方法的应用。这本书展示了各种离散优化和计数问题的快速算法的应用。本书中所选的应用程序的目的是为了说明连续优化和离散优化之间的一个相当令人惊讶的桥梁。

目标受众包括高级本科生、研究生和理论计算机科学、离散优化和机器学习方面的研究人员。

https://convex-optimization.github.io/

第一章-连续优化和离散优化的衔接

我们提出了连续优化和离散优化之间的相互作用。最大流问题是一个激励人心的例子。我们也追溯了线性规划的历史——从椭球法到现代内点法。最后介绍了椭球法在求解最大熵问题等一般凸规划问题上的一些最新成果。

第二章 预备知识

我们复习这本书所需的数学基础知识。这些内容包括多元微积分、线性代数、几何、拓扑、动力系统和图论中的一些标准概念和事实。

第三章-凸性

我们引入凸集,凸性的概念,并展示了伴随凸性而来的能力:凸集具有分离超平面,子梯度存在,凸函数的局部最优解是全局最优解。

第四章-凸优化与效率

我们提出了凸优化的概念,并正式讨论了它意味着什么,有效地解决一个凸程序作为一个函数的表示长度的输入和期望的精度。

第五章-对偶性与最优性

我们引入拉格朗日对偶性的概念,并证明在一个称为Slater条件的温和条件下,强拉格朗日对偶性是成立的。随后,我们介绍了拉格朗日对偶和优化方法中经常出现的Legendre-Fenchel对偶。最后,给出了Kahn-Karush-Tucker(KKT)最优性条件及其与强对偶性的关系。

第六章-梯度下降

我们首先介绍梯度下降法,并说明如何将其视为最陡下降。然后,我们证明了梯度下降法在函数的梯度是连续的情况下具有收敛时间界。最后,我们使用梯度下降法提出了一个快速算法的离散优化问题:计算最大流量无向图。

第七章-镜像下降和乘法权值更新

我们推出我们的凸优化的第二个算法-称为镜面下降法-通过正则化观点。首先,提出了基于概率单纯形的凸函数优化算法。随后,我们展示了如何推广它,重要的是,从它推导出乘法权值更新(MWU)方法。然后利用后一种算法开发了一个快速的近似算法来解决图上的二部图匹配问题。

第八章-加速梯度下降

提出了Nesterov的加速梯度下降算法。该算法可以看作是前面介绍的梯度下降法和镜像下降法的混合。我们还提出了一个应用加速梯度法求解线性方程组。

第九章-牛顿法

IWe开始了设计凸优化算法的旅程,其迭代次数与误差成对数关系。作为第一步,我们推导并分析了经典的牛顿方法,这是一个二阶方法的例子。我们认为牛顿方法可以被看作是黎曼流形上的最速下降,然后对其收敛性进行仿射不变分析。

第十章 线性规划的内点法

利用牛顿法及其收敛性,推导出一个线性规划的多项式时间算法。该算法的关键是利用障碍函数的概念和相应的中心路径,将有约束优化问题简化为无约束优化问题。

第十一章-内点法的变种与自洽

给出了线性规划中路径遵循IPM的各种推广。作为应用,我们推导了求解s-t最小代价流问题的快速算法。随后,我们引入了自一致性的概念,并给出了多边形和更一般凸集的障碍函数的概述。

第十二章 线性规划的椭球法

介绍了凸优化的一类切割平面方法,并分析了一种特殊情况,即椭球体法。然后,我们展示了如何使用这个椭球方法来解决线性程序超过0-1多边形时,我们只能访问一个分离oracle的多边形。

第十三章-凸优化的椭球法

我们展示了如何适应椭球法求解一般凸程序。作为应用,我们提出了子模函数最小化的多项式时间算法和计算组合多边形上的最大熵分布的多项式时间算法。

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本书概述了现代数据科学重要的数学和数值基础。特别是,它涵盖了信号和图像处理(傅立叶、小波及其在去噪和压缩方面的应用)、成像科学(反问题、稀疏性、压缩感知)和机器学习(线性回归、逻辑分类、深度学习)的基础知识。重点是对方法学工具(特别是线性算子、非线性逼近、凸优化、最优传输)的数学上合理的阐述,以及如何将它们映射到高效的计算算法。

https://mathematical-tours.github.io/book/

它应该作为数据科学的数字导览的数学伴侣,它展示了Matlab/Python/Julia/R对这里所涵盖的所有概念的详细实现。

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