这是我2004年,2006年和2009年在斯坦福大学教授的概率理论博士课程的讲义。本课程的目标是为斯坦福大学数学和统计学系的博士生做概率论研究做准备。更广泛地说,文本的目标是帮助读者掌握概率论的数学基础和在这一领域中证明定理最常用的技术。然后将此应用于随机过程的最基本类的严格研究。

为此,我们在第一章中介绍了测度与积分理论中的相关元素,即事件的概率空间与格-代数、作为可测函数的随机变量、它们的期望作为相应的勒贝格积分,以及独立性的重要概念。

利用这些元素,我们在第二章中研究了随机变量收敛的各种概念,并推导了大数的弱定律和强定律。

第三章讨论了弱收敛的理论、分布函数和特征函数的相关概念以及中心极限定理和泊松近似的两个重要特例。

基于第一章的框架,我们在第四章讨论了条件期望的定义、存在性和性质,以及相关的规则条件概率分布。

第五章讨论了过滤、信息在时间上的级数的数学概念以及相应的停止时间。关于后者的结果是作为一组称为鞅的随机过程研究的副产品得到的。讨论了鞅表示、极大不等式、收敛定理及其各种应用。为了更清晰和更容易的表述,我们在这里集中讨论离散时间的设置来推迟与第九章相对应的连续时间。

第六章简要介绍了马尔可夫链的理论,概率论的核心是一个庞大的主题,许多教科书都致力于此。我们通过研究一些有趣的特殊情况来说明这类过程的一些有趣的数学性质。

在第七章中,我们简要介绍遍历理论,将注意力限制在离散时间随机过程的应用上。我们定义了平稳过程和遍历过程的概念,推导了Birkhoff和Kingman的经典定理,并强调了该理论的许多有用应用中的少数几个。

第八章建立了以连续时间参数为指标的右连续随机过程的研究框架,引入了高斯过程族,并严格构造了布朗运动为连续样本路径和零均值平稳独立增量的高斯过程。

第九章将我们先前对鞅和强马尔可夫过程的处理扩展到连续时间的设定,强调了右连续滤波的作用。然后在布朗运动和马尔可夫跳跃过程的背景下说明了这类过程的数学结构。

在此基础上,在第十章中,我们利用不变性原理重新构造了布朗运动作为某些重新标定的随机游动的极限。进一步研究了其样本路径的丰富性质以及布朗运动在clt和迭代对数定律(简称lil)中的许多应用。

https://statweb.stanford.edu/~adembo/stat-310b/lnotes.pdf

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概率论是研究随机性或不确定性等现象的 数学

模式识别对科学家和工程师来说是最重要的挑战之一,并且已经提出了许多不同的方法。本书的目的是为这些方法的概率分析提供一个自成体系的描述。本书包括了距离度量,基于内核或最近邻居的非参数方法,Vapnik-Chervonenkis理论,epsilon熵,参数分类,误差估计,自由分类器和神经网络的讨论。在可能的情况下,可以导出无分布性质和不等式。大量的结果或分析是新的。

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0711-5

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统计学正迅速成为数学中最重要的多学科领域。据美国统计协会称,统计学是增长最快的10个职业之一,而统计学是增长最快的学士学位之一。统计素养对我们这个数据驱动的社会至关重要。尽管对统计能力的重要性和需求增加,但统计方面的教学方法几乎没有改变。使用Mike Bostock的数据可视化软件,D3.js,看到理论可视化的基本概念所涵盖的大学统计学导论或大学预修课程的统计。我们鼓励学生将视觉理论作为教科书、教授和同学的额外资源。

来自斯坦福大学的一位研究生和他的伙伴们开发了一本颇有新意的统计概率入门教材,与传统教材不同的是,这本书充分利用了数据可视化技术,交互性和趣味性都非常强,可以边读边玩。

该书共分为 6 章,分别为基础概率论、进阶概率论、概率分布、统计推断:频率学派、统计推断:贝叶斯学派和回归分析,每章分为三个小节,如图所示:

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这本书系统性讲述了统计学理论,包括概率理论、分布式理论与统计模型,基本统计理论、贝叶斯理论、无偏点估计、最大似然统计推断、统计假设与置信集、非参与鲁棒推断。

第一门课程以对统计中有用的测量论概率论的概念和结果的简要概述开始。随后讨论了统计决策理论和推理中的一些基本概念。探讨了估计的基本方法和原理,包括各种限制条件下的最小风险方法,如无偏性或等方差法,最大似然法,以及矩法和其他插件方法等函数法。然后详细地考虑了贝叶斯决策规则。详细介绍了最小方差无偏估计的方法。主题包括统计量的充分性和完全性、 Fisher信息、估计量的方差的界、渐近性质和统计决策理论,包括极大极小和贝叶斯决策规则。

第二门课程更详细地介绍了假设检验和置信集的原理。我们考虑了决策过程的表征,内曼-皮尔森引理和一致最有力的测试,置信集和推理过程的无偏性。其他主题包括等方差、健壮性和函数估计。

除了数理统计的经典结果外,还讨论了马尔可夫链蒙特卡洛理论、拟似然、经验似然、统计泛函、广义估计方程、折刀法和自举法。

http://mason.gmu.edu/~jgentle/books/MathStat.pdf

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这本书的主要目的是提出一个连贯的介绍图论,适合作为一本教科书为高等本科和在数学和计算机科学研究生。它提供了一个系统的处理图的理论,而不牺牲其直观和审美的吸引力。大量使用的证明技术被描述和说明,并且提供了大量的练习——不同难度的练习——帮助读者掌握这些技术并加强他们对材料的掌握。

Individual chapters: Preface Contents Chapter 1: Graphs and Subgraphs Chapter 2: Trees Chapter 3: Connectivity Chapter 4: Euler Tours and Hamilton Cycles Chapter 5: Matchings Chapter 6: Edge Colourings Chapter 7: Independent Sets and Cliques Chapter 8: Vertex Colourings Chapter 9: Planar Graphs Chapter 10: Directed Graphs Chapter 11: Networks Chapter 12: The Cycle Space and Bond Space Appendix 1: Hints to Starred Exercises Appendix II: Four Graphs and a Table of their Properties Appendix III: Some Interesting Graphs Appendix IV: Unsolved Problems Appendix V: Suggestions for Further Reading Glossary of Symbols Index

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本书将侧重于统计学习和序列预测(在线学习)的理论方面。在本笔记的第一部分,我们将使用经典的工具:集中不等式、随机平均、覆盖数字和组合参数来分析学习的i.i.d.数据。然后,我们将重点放在序列预测上,并开发许多用于在此场景中学习的相同工具。后一部分是基于最近的研究,并提出了进一步研究的方向。我们在整个课程中强调的极大极小方法,提供了一种比较学习问题的系统方法。除了理论分析,我们将讨论学习算法,特别是学习和优化之间的重要联系。我们的框架将处理开发接近最优和计算效率的算法。我们将用矩阵补全、链路预测等问题来说明这一点。如果时间允许,我们将深入了解信息理论和博弈论,并展示我们的新工具如何无缝地产生许多有趣的结果。

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这是为未来的科学家和工程师准备的微积分介绍的第二卷。第二卷是第一卷的延续,包括第六到第十二章。第六章介绍了向量、向量运算、向量的微分与积分及其应用。第七章研究了以向量形式表示的曲线和曲面,并研究了与这些形式相关的向量运算。此外,还研究了用矢量表示法表示密度、表面积和体积元素的方法。方向导数是与其他向量运算及其属性一起定义的,因为这些额外的向量使我们能够找到具有多个变量的函数的最大值和最小值。第八章研究标量场和向量场以及涉及这些量的运算。详细研究了高斯散度定理、斯托克斯定理和平面上的格林定理及其相关应用。第九章介绍了来自科学和工程选定领域的向量的应用。第十章介绍了矩阵演算和差分演算。第十一章介绍了概率论和统计学。第十章和第十一章之所以出现,是因为在当今社会,技术发展正趋向于一个数字化的世界,学生们应该接触到一些运算性的微积分,这是为了理解这些技术所需要的。第十二章是作为一个后续想法,介绍那些对数学的一些更高级的领域感兴趣的人。

如果你是微积分的初学者,那么一定要确保你有适当的代数和三角的背景材料。如果你有不明白的地方,不要害怕向你的老师提问。去图书馆找一些其他的微积分书,从不同的角度来介绍这门学科。在因特网上,人们可以找到许多微积分的帮助。在因特网上,人们还可以找到许多关于微积分应用的说明。这些额外的学习辅助将向你展示在不同的微积分科目上有多种方法,应该有助于你的分析和推理技能的发展。

http://www.math.odu.edu/~jhh/Volume-2.PDF

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Edwin Thompson Jaynes所著的Probability Theory: The Logic of Science,本书暂无中译本,影印本名为《概率论沉思录》也已绝版。这本书是作者的遗著,花费半个世纪的时间完成,从名字就可以看出是一部神书。作者从逻辑的角度探讨了基于频率的概率,贝叶斯概率和统计推断,将概率论这门偏经验的学科纳入数理逻辑的框架之下。如果读这本书,千万要做好烧脑的准备。

《概率论沉思录(英文版)》将概率和统计推断融合在一起,用新的观点生动地描述了概率论在物理学、数学、经济学、化学和生物学等领域中的广泛应用,尤其是它阐述了贝叶斯理论的丰富应用,弥补了其他概率和统计教材的不足。全书分为两大部分。第一部分包括10章内容,讲解抽样理论、假设检验、参数估计等概率论的原理及其初等应用;第二部分包括12章内容,讲解概率论的高级应用,如在物理测量、通信理论中的应用。《概率论沉思录(英文版)》还附有大量习题,内容全面,体例完整。

《概率论沉思录(英文版)》内容不局限于某一特定领域,适合涉及数据分析的各领域工作者阅读,也可作为高年级本科生和研究生相关课程的教材。

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这本书的第五版继续讲述如何运用概率论来深入了解真实日常的统计问题。这本书是为工程、计算机科学、数学、统计和自然科学的学生编写的统计学、概率论和统计的入门课程。因此,它假定有基本的微积分知识。

第一章介绍了统计学的简要介绍,介绍了它的两个分支:描述统计学和推理统计学,以及这门学科的简短历史和一些人,他们的早期工作为今天的工作提供了基础。

第二章将讨论描述性统计的主题。本章展示了描述数据集的图表和表格,以及用于总结数据集某些关键属性的数量。

为了能够从数据中得出结论,有必要了解数据的来源。例如,人们常常假定这些数据是来自某个总体的“随机样本”。为了确切地理解这意味着什么,以及它的结果对于将样本数据的性质与整个总体的性质联系起来有什么意义,有必要对概率有一些了解,这就是第三章的主题。本章介绍了概率实验的思想,解释了事件概率的概念,并给出了概率的公理。

我们在第四章继续研究概率,它处理随机变量和期望的重要概念,在第五章,考虑一些在应用中经常发生的特殊类型的随机变量。给出了二项式、泊松、超几何、正规、均匀、伽玛、卡方、t和F等随机变量。

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高斯过程(GPs)为核机器的学习提供了一种有原则的、实用的、概率的方法。在过去的十年中,GPs在机器学习社区中得到了越来越多的关注,这本书提供了GPs在机器学习中理论和实践方面长期需要的系统和统一的处理。该书是全面和独立的,针对研究人员和学生在机器学习和应用统计学。

这本书处理监督学习问题的回归和分类,并包括详细的算法。提出了各种协方差(核)函数,并讨论了它们的性质。从贝叶斯和经典的角度讨论了模型选择。讨论了许多与其他著名技术的联系,包括支持向量机、神经网络、正则化网络、相关向量机等。讨论了包括学习曲线和PAC-Bayesian框架在内的理论问题,并讨论了几种用于大数据集学习的近似方法。这本书包含说明性的例子和练习,和代码和数据集在网上是可得到的。附录提供了数学背景和高斯马尔可夫过程的讨论。

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本备忘单是机器学习手册的浓缩版,包含了许多关于机器学习的经典方程和图表,旨在帮助您快速回忆起机器学习中的知识和思想。

这个备忘单有两个显著的优点:

  1. 清晰的符号。数学公式使用了许多令人困惑的符号。例如,X可以是一个集合,一个随机变量,或者一个矩阵。这是非常混乱的,使读者很难理解数学公式的意义。本备忘单试图规范符号的使用,所有符号都有明确的预先定义,请参见小节。

  2. 更少的思维跳跃。在许多机器学习的书籍中,作者省略了数学证明过程中的一些中间步骤,这可能会节省一些空间,但是会给读者理解这个公式带来困难,读者会在中间迷失。

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