We consider the reconstruction of the shape and the impedance function of an obstacle from measurements of the scattered field at receivers outside the object. The data is assumed to be generated by plane waves impinging on the obstacle from multiple directions and at multiple frequencies. This inverse problem is reformulated as the optimization problem of finding band-limited shape and impedance functions which minimize the $L^2$ distance between the computed value of the scattered field at the receivers and the data. The optimization problem is non-linear, non-convex, and ill-posed. Moreover, the objective function is computationally expensive to evaluate. The recursive linearization approach (RLA) proposed by Chen has been successful in addressing these issues in the context of recovering the sound speed of a domain or the shape of a sound-soft obstacle. We present an extension of the RLA for the recovery of both the shape and impedance functions. The RLA is a continuation method in frequency where a sequence of single frequency inverse problems is solved. At each higher frequency, one attempts to recover incrementally higher resolution features using a step assumed to be small enough to ensure that the initial guess obtained at the preceding frequency lies in the basin of attraction for Newton's method at the new frequency. We demonstrate the effectiveness of the method with several numerical examples. Surprisingly, we find that one can recover the shape with high accuracy even when the measurements are from sound-hard or sound-soft objects. While the method is effective in obtaining high quality reconstructions for complicated geometries and impedance functions, a number of interesting open questions remain. We present numerical experiments that suggest underlying mechanisms of success and failure, showing areas where improvements could help lead to robust and automatic tools.


翻译:我们认为,在天体外的接收器对分散字段进行测量所产生的障碍的形状和障碍功能的重建与障碍功能的阻碍作用; 假定数据是由来自多个方向和多个频率的阻力撞击障碍时产生的。 这一反面问题被重新表述为找到带宽形状和阻力功能的最优化问题,这些功能将分散字段在接收器和数据的计算值之间的距离缩小到最低。 优化问题是非线性、非节制和错误的。 此外, 目标功能是计算成本昂贵的。 陈提议的循环自动线性方法(RLA)在从多个方向和多个频率的阻力障碍中,在恢复某个域的音速速度或声音软性障碍的形状方面成功地解决这些问题。 我们提出了RLA的扩展,这是在频率上找到单一频率反的问题解决的频率的一种持续方法。 在每次提高频率时, 一次尝试以递增更高的分辨率恢复的物体特征, 假设的步伐是足够小的加速的直线性线性方法(RLA), 在恢复一个域或高频度的频率下,我们最初的测算算出一个频率的轨道上的精确率方法, 显示我们获得的精确的频率的频率的精确率的恢复方法。

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