数据科学概率导论

这本书是大学概率论的入门教材。它有一个使命: 阐明我们在科学和工程中使用的概率工具的动机、直觉和含义。从超过五年的课程教学中,我提炼出了我认为是概率方法的核心。我把这本书放在数据科学的背景下,以强调数据(计算)和概率(理论)在我们这个时代的不可分离性。

地址: https://probability4datascience.com/index.html

概率论是电子工程和计算机科学中最有趣的学科之一。它将我们喜爱的工程原理与现实联系起来,这是一个充满不确定性的世界。然而,因为概率是一门非常成熟的学科,单是本科生的课本就可能在图书馆的书架上摆满好几排书。当文学如此丰富时,挑战就变成了一个人如何在深入细节的同时洞察到洞察力。例如,你们中的许多人以前使用过正态随机变量,但你们是否想过“钟形”是从哪里来的?每一门概率课都会教你抛硬币,但是“抛硬币”在今天的机器学习中有什么用呢?数据科学家使用泊松随机变量来模拟互联网流量,但是这个漂亮的泊松方程是从哪里来的呢?这本书的目的是填补这些知识的差距,这是所有数据科学学生必不可少的。

这就引出了本书的三个目标。(i) 动机: 在数学定义、定理、方程的海洋中,为什么我们要把时间花在这个主题上,而不是其他的? (ii) 直觉: 当进行推导时,在这些方程之外是否有几何解释或物理学?(iii) 言外之意: 当我们学习了一个话题后,我们可以解决哪些新问题?本书的目标读者是电子工程和计算机科学专业的本科生三、四年级和一年级研究生。先决条件是标准的本科线性代数和微积分,除了需要傅里叶变换的特征函数部分。一门信号与系统的本科课程就足够了,即使是在学习这本书的同时选修。

这本书的篇幅适合两学期的课程。教师被鼓励使用最适合他们的课程的章节集。例如,基本概率课程可以使用第1-5章作为主干。关于样本统计的第6章适合希望获得概率收敛理论见解的学生。关于回归的第七章和关于估计的第八章最适合学习机器学习和信号处理的学生。第9章讨论了对现代数据分析至关重要的置信区间和假设检验。第10章介绍了随机过程。我的随机过程方法更适合于信息处理和通信系统,这通常与电气工程专业的学生更相关。

本书特色:

涵盖范围广,从经典的概率论到现代数据分析技术 概念的几何和图形解释 与MATLAB / Python紧密集成 机器学习的实际应用

目录内容

Chapter 1 Mathematical Background Chapter 2 Probability Chapter 3 Discrete Random Variables Chapter 4 Continuous Random Variables Chapter 5 Joint Distributions Chapter 6 Sample Statistics Chapter 7 Regression Chapter 8 Estimation Chapter 9 Confidence and Hypothesis Chapter 10 Random Processes

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数据科学(英語:data science)是一门利用数据学习知识的学科,其目标是通过从数据中提取出有价值的部分来生产数据产品。 它结合了诸多领域中的理论和技术,包括应用数学、统计、模式识别、机器学习、数据可视化、数据仓库以及高性能计算。 数据科学通过运用各种相关的数据来帮助非专业人士理解问题。

这本最新的教科书是向数学、计算机科学、工程、统计学、经济学或商业研究的新学生介绍概率论和信息理论的一个极好的方式。它只需要基本的微积分知识,首先建立一个清晰和系统的基础: 通过对布尔代数度量的简化讨论,特别关注概率的概念。这些理论思想随后被应用到实际领域,如统计推断、随机游走、统计力学和通信建模。主题涵盖了离散和连续随机变量,熵和互信息,最大熵方法,中心极限定理和编码和信息传输,并为这个新版本添加了关于马尔可夫链和它们的熵的材料。大量的例子和练习包括说明如何使用理论在广泛的应用,与详细的解决方案,大多数练习可在网上找到。

https://www.cambridge.org/core/books/probability-and-information/26E513C2D4C7B8B0709FBAF95A233959#fndtn-information

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对机器学习和数据挖掘很感兴趣,但是数学表示法看起来又奇怪又不直观,那就看看这本书吧。它从概率和线性代数开始,逐渐建立到现代研究论文中使用的常见符号和技术-重点是简单、可爱和实际使用的基本技术。它充满了大量的简单的例子,数以百计的插图和解释,突出的几何解释正在发生什么。抽象的数学和分析技术和模型的动机是真实的问题,并提醒读者在使用这些强大的工具时内在的伦理考虑。

本书的目的是介绍了许多现代数据分析所需的基本数学原理和技术。特别是,它是由主要在两门课程中讲授的材料构建而成的。第一个是早期的本科课程,旨在帮助学生在严格的机器学习和数据挖掘课程中取得成功。第二门课程是高级数据挖掘课程。它应该对这类课程的任何组合都有用。这本书介绍了在本科课程中经常缺席或简短的关键概念工具,对大多数学生来说,有助于多次看到。在这些基础之上,它介绍了构成现代数据分析主干的最基本技术的通用版本。然后深入探讨一些更高级的主题和技术——仍然专注于清晰、直观和持久的想法,而不是不断发展的最新技术中的具体细节。

本书范围

引入的重要概念包括度量的集中和PAC边界、交叉验证、梯度下降、各种距离、主成分分析和图表。这些思想对于现代数据分析是必不可少的,但在计算机科学或数学系的其他数学入门课程中却很少教授。或者,如果教授这些概念,它们是在一个非常不同的背景下呈现的。

我们对监督(回归和分类)和非监督(主成分分析和聚类)学习的基本技术做了阐述。我们努力使这些主题的表述和概念保持简单。我们最初主要坚持那些试图最小化误差平方和的方法。我们首先使用经典但很有效的算法,如Lloyd的k-means,幂法的特征向量,和感知器的线性分类。对于许多学生(甚至是计算机科学课程的学生)来说,这是他们遇到的第一个迭代的、非离散的算法。有时,这本书冒险超出这些基础知识,进入概念,如正则化和Lasso,局部敏感哈希,多维尺度,光谱聚类,神经网络基础,和数据草图。这些课程可以穿插进去,让课程更深入,更高级,因为适合学生的水平。

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高维概率提供了对随机向量、随机矩阵、随机子空间和用于量化高维不确定性的对象的行为的洞察。借鉴了概率、分析和几何的思想,它适用于数学、统计学、理论计算机科学、信号处理、优化等领域。它是第一个将高维概率的理论、关键工具和现代应用集成起来的。集中不等式是其核心,它涵盖了Hoeffding和Chernoff等经典不等式和Bernstein等现代发展。然后介绍了基于随机过程的强大方法,包括Slepian的、Sudakov的和Dudley的不等式,以及基于VC维的泛链和界。整本书包含了大量的插图,包括经典和现代的协方差估计、聚类、网络、半定规划、编码、降维、矩阵补全、机器学习、压缩感知和稀疏回归等结果。

这是一本教科书在高维概率与数据科学的应用展望。它是为博士和高级硕士学生和数学,统计,电子工程,计算机科学,计算生物学和相关领域的初级研究人员,谁正在寻求扩大他们的理论方法在现代研究数据科学的知识。

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这本教科书强调了代数和几何之间的相互作用,以激发线性代数的研究。矩阵和线性变换被认为是同一枚硬币的两面,它们的联系激发了全书的探究。围绕着这个界面,作者提供了一个概念上的理解,数学是进一步的理论和应用的核心。继续学习线性代数的第二门课程,您将会对《高等线性代数与矩阵代数》这本书有更深的了解。

从向量、矩阵和线性变换的介绍开始,这本书的重点是构建这些工具所代表的几何直观。线性系统提供了迄今为止看到的思想的强大应用,并导致子空间、线性独立、基和秩的引入。然后研究集中在矩阵的代数性质,阐明了它们所代表的线性变换的几何性质。行列式、特征值和特征向量都可以从这种几何观点中获益。在整个过程中,“额外主题”部分以广泛的思想和应用扩大了核心内容,从线性规划,到幂迭代和线性递归关系。每个部分都有各种层次的练习,包括许多设计用来用电脑程序解决的练习。

这本书是从线性变换和矩阵本身都是有用的对象的角度写的,但它是两者之间的联系,真正打开线性代数的魔法。有时候,当我们想知道一些关于线性变换的东西时,最简单的方法就是找到一组基然后看对应的矩阵。相反,有许多有趣的矩阵和矩阵运算家族,它们似乎与线性变换无关,但却可以解释一些基无关对象的行为。

线性与矩阵代数导论是线性代数的理想入门证明课程。学生被假定已经完成了一到两门大学水平的数学课程,尽管微积分不是明确的要求。教师将会感激有足够的机会选择符合每个教室需求的主题,并通过WeBWorK提供在线作业集。

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本书是信息论领域中一本简明易懂的教材。主要内容包括:熵、信源、信道容量、率失真、数据压缩与编码理论和复杂度理论等方面的介绍。

本书还对网络信息论和假设检验等进行了介绍,并且以赛马模型为出发点,将对证券市场研究纳入了信息论的框架,从新的视角给投资组合的研究带来了全新的投资理念和研究技巧。

本书适合作为电子工程、统计学以及电信方面的高年级本科生和研究生的信息论基础教程教材,也可供研究人员和专业人士参考。

本书是一本简明易懂的信息论教材。正如爱因斯坦所说:“凡事应该尽可能使其简单到不能再简单为止。''虽然我们没有深人考证过该引语的来源(据说最初是在幸运蛋卷中发现的),但我们自始至终都将这种观点贯穿到本书的写作中。信息论中的确有这样一些关键的思想和技巧,一旦掌握了它们、不仅使信息论的主题简明,而且在处理新问題时提供重要的直觉。本书来自使用了十多年的信息论讲义,原讲义是信息论课程的高年级本科生和一年级研究生两学期用的教材。本书打算作为通信理论.计算机科学和统计学专业学生学习信息论的教材。

信息论中有两个简明要点。第一,熵与互信息这样的特殊量是为了解答基本问题而产生的。例如,熵是随机变量的最小描述复杂度,互信息是度量在噪声背景下的通信速率。另外,我们在以后还会提到,互信息相当于已知边信息条件下财富双倍的增长。第二,回答信息理论问邀的答案具有自然的代数结构。例如,熵具有链式法则,因而,谪和互信息也是相关的。因此,数据压缩和通信中的问题得到广泛的解释。我们都有这样的感受,当研究某个问题时,往往历经大量的代数运算推理得到了结果,但此时没有真正了解问题的全莪,最终是通过反复观察结果,才对整个问题有完整、明确的认识。所以,对一个问题的全面理解,不是靠推理,而是靠对结果的观察。要更具体地说明这一点,物理学中的牛顿三大定律和薛定谔波动方程也许是最合适的例子。谁曾预见过薛定谔波动方程后来会有如此令人敬畏的哲学解释呢?

在本书中,我们常会在着眼于问题之前,先了解一下答案的性质。比如第2章中,我们定义熵、相对熵和互信息,研究它们之间的关系,再对这些关系作一点解释·由此揭示如何融会贯通地使用各式各样的方法解决实际问题。同理,我们顺便探讨热力学第二定律的含义。熵总是增加吗?答案既肯定也否定。这种结果会令专家感兴趣,但初学者或i午认为这是必然的而不会深人考虑。

在实际教学中.教师往往会加人一自己的见解。事实上,寻找无人知道的证明或者有所创新的结果是一件很愉快的事情。如果有人将新的思想和已经证明的内容在课堂上讲解给学生,那么不仅学生会积极反馈“对,对,对六而且会大大地提升教授该课程的乐崆我们正是这样从研究本教材的许多新想法中获得乐趣的。

本书加人的新素材实例包括信息论与博弈之间的关系,马尔可夫链背景下热力学第二定律的普遍性问题,信道容量定理的联合典型性证明,赫夫曼码的竞争最优性,以及关于最大熵谱密度估计的伯格(回定理的证明。科尔莫戈罗夫复杂度这一章也是本书的独到之处。面将费希尔信息,互信息、中心极限定理以及布伦一闵可夫斯基不等式与熵幂不等式联系在一起,也是我们引以为豪之处。令我们感到惊讶的是.关于行列式不等式的许多经典结论,当利用信息论不等式后会很容易得到证明。

自从香农的奠基性论文面世以来,尽管信息论已有了相当大的发展,但我们还是要努力强调它的连贯性。虽然香农创立信息论时受到通信理论中的问题启发,然而我们认为信息论是一门独立的学科,可应用于通信理论和统计学中。我们将信息论作为一个学科领域从通信理论、概率论和统计学的背景中独立出来因为明显不可能从这些学科中获得难以理解的信息概念。由于本书中绝大多数结论以定理和证明的形式给出,所以,我们期望通过对这些定理的巧妙证明能说明这些结论的完美性。一般来讲,我们在介绍问题之前先描述回题的解的性质,而这些很有的性质会使接下来的证明顺理成章。

使用不等式串、中间不加任何文字、最后直接加以解释,是我们在表述方式上的一项创新希望读者学习我们所给的证明过程达到一定数量时,在没有任何解释的情况下就能理解其中的大部分步,并自己给出所需的解释这些不等式串好比模拟到试题,读者可以通过它们确认自己是否已掌握证明那些重要定理的必备知识。这些证明过程的自然流程是如此引人注目,以至于导致我们轻视了写作技巧中的某条重要原则。由于没有多余的话,因而突出了思路的逻辑性与主題思想u我们希望当读者阅读完本书后,能够与我们共同分亨我们所推崇的,具有优美、简洁和自然风格的信息论。

本书广泛使用弱的典型序列的方法,此概念可以追溯到香农1948年的创造性工作,而它真正得到发展是在20世纪70年代初期。其中的主要思想就是所谓的渐近均分性(AEP),或许可以粗略地说成“几乎一切事情都是等可能的"

第2章阐述了熵、相对熵和互信息之同的基本代数关系。渐近均分性是第3章重中之重的内容,这也使我们将随机过程和数据压缩的熵率分别放在第4章和第5章中论述。第6章介绍博弈,研究了数据压缩的对偶性和财富的增长率。可作为对信息论进行理性思考基础的科尔莫戈罗夫复杂度,拥有着巨大的成果,放在第14章中论述。我们的目标是寻找一个通用的最矩描述,而不是平均意义下的次佳描述。的确存在这样的普遍性概念用来刻画一个对象的复杂度。该章也论述了神奇数0,揭示数学上的不少奥秘,是图灵机停止运转概率的推广。第7章论述信道容量定理。第8章叙述微分熵的必需知识,它们是将早期容量定理推广到连续噪声信道的基础。基本的高斯信道容量问题在第9章中论述。第il章阐述信息论和统计学之间的关系,20世纪年代初期库尔贝克首次对此进行了研究,此后相对被忽视。由于率失真理论比无噪声数据压缩理论需要更多的背景知识,因而将其放置在正文中比较靠后的第10章。

网络信息理论是个大的主题,安排在第巧章,主要研究的是噪声和干扰存在情形下的同时可达的信息流。有许多新的思想在网络信息理论中开始活跃起来,其主要新要素有干扰和反馈第16章讲述股票市场,这是第6章所讨论的博弈的推广,也再次表明了信息论和博弈之间的紧密联系。第17章讲述信息论中的不等式,我们借此一隅把散布于全书中的有趣不等式重新收拢在一个新的框架中,再加上一些关于随机抽取子集熵率的有趣新不等式。集合和的体积的布伦一闵可夫斯基不等式,独立随机变量之和的有效方差的熵幂不等式以及费希尔信息不等式之间的美妙关系也将在此章中得到详尽的阐述。

本书力求推理严密,因此对数学的要求相当高·要求读者至少学过一学期的概率论课程且有扎实的数学背景,大致为本科高年级或研究生一年级水平。尽管如此,我们还是努力避免使用测度论。因为了解它只对第16章中的遍历过程的AEP的证明过程起到简化作用。这符合我们的观点,那就是信息论基础与技巧不同,后者才需要将所有推广都写进去。

本书的主体是第2,3,4,5,7,8,9,10,11和巧章,它们自成体系,读懂了它们就可以对信息论有很好的理解。但在我们看来,第14章的科尔莫戈罗夫复杂度是深人理解信息论所需的必备知识。余下的几章,从博弈到不等式.目的是使主题更加连贯和完美。

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这本书是哈佛大学Joseph K.Blitzstein 教授和斯坦福大学Jessica Hwang博士合著的新书《Introduction to probability》第二版预印版已公开。本书提供了对概率的介绍,并为理解统计、随机性和不确定性奠定了基础。

这本书提供了概率论的现代介绍,并为理解统计、随机性和不确定性奠定了基础。从基本的投币和巧合的研究到谷歌PageRank和马尔可夫链蒙特卡罗,本文探讨了各种应用和实例。由于概率论通常被认为是一门反直觉的学科,因此给出了许多直观的解释、图表和实践问题。每一章的结尾都有一节展示如何在统计计算和模拟的自由软件环境R中探索该章的思想。

概率论(英语:Probability theory)是集中研究概率及随机现象的数学分支,是研究随机性或不确定性等现象的数学。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。对于随机事件是不可能准确预测其结果的,然而对于一系列的独立随机事件——例如掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘等,会呈现出一定的、可以被用于研究及预测的规律,两个用来描述这些规律的最具代表性的数学结论分别是大数定律和中心极限定理。

二、主要内容 下面是这本书的一些目录: 第一章:概率和统计 第二章:条件概率 第三章:随机变量及其分布 第四章:期望 第五章:连续随机变量 第六章:时刻 第七章:联合分布 第八章:转换 第九章:条件期望 第十章:不等式和极限定理 第十一章:马尔可夫链 第十二章:马尔可夫链蒙特卡罗 第十三章:泊松过程 第十四章:数学

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这是我2004年,2006年和2009年在斯坦福大学教授的概率理论博士课程的讲义。本课程的目标是为斯坦福大学数学和统计学系的博士生做概率论研究做准备。更广泛地说,文本的目标是帮助读者掌握概率论的数学基础和在这一领域中证明定理最常用的技术。然后将此应用于随机过程的最基本类的严格研究。

为此,我们在第一章中介绍了测度与积分理论中的相关元素,即事件的概率空间与格-代数、作为可测函数的随机变量、它们的期望作为相应的勒贝格积分,以及独立性的重要概念。

利用这些元素,我们在第二章中研究了随机变量收敛的各种概念,并推导了大数的弱定律和强定律。

第三章讨论了弱收敛的理论、分布函数和特征函数的相关概念以及中心极限定理和泊松近似的两个重要特例。

基于第一章的框架,我们在第四章讨论了条件期望的定义、存在性和性质,以及相关的规则条件概率分布。

第五章讨论了过滤、信息在时间上的级数的数学概念以及相应的停止时间。关于后者的结果是作为一组称为鞅的随机过程研究的副产品得到的。讨论了鞅表示、极大不等式、收敛定理及其各种应用。为了更清晰和更容易的表述,我们在这里集中讨论离散时间的设置来推迟与第九章相对应的连续时间。

第六章简要介绍了马尔可夫链的理论,概率论的核心是一个庞大的主题,许多教科书都致力于此。我们通过研究一些有趣的特殊情况来说明这类过程的一些有趣的数学性质。

在第七章中,我们简要介绍遍历理论,将注意力限制在离散时间随机过程的应用上。我们定义了平稳过程和遍历过程的概念,推导了Birkhoff和Kingman的经典定理,并强调了该理论的许多有用应用中的少数几个。

第八章建立了以连续时间参数为指标的右连续随机过程的研究框架,引入了高斯过程族,并严格构造了布朗运动为连续样本路径和零均值平稳独立增量的高斯过程。

第九章将我们先前对鞅和强马尔可夫过程的处理扩展到连续时间的设定,强调了右连续滤波的作用。然后在布朗运动和马尔可夫跳跃过程的背景下说明了这类过程的数学结构。

在此基础上,在第十章中,我们利用不变性原理重新构造了布朗运动作为某些重新标定的随机游动的极限。进一步研究了其样本路径的丰富性质以及布朗运动在clt和迭代对数定律(简称lil)中的许多应用。

https://statweb.stanford.edu/~adembo/stat-310b/lnotes.pdf

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这本书的第五版继续讲述如何运用概率论来深入了解真实日常的统计问题。这本书是为工程、计算机科学、数学、统计和自然科学的学生编写的统计学、概率论和统计的入门课程。因此,它假定有基本的微积分知识。

第一章介绍了统计学的简要介绍,介绍了它的两个分支:描述统计学和推理统计学,以及这门学科的简短历史和一些人,他们的早期工作为今天的工作提供了基础。

第二章将讨论描述性统计的主题。本章展示了描述数据集的图表和表格,以及用于总结数据集某些关键属性的数量。

为了能够从数据中得出结论,有必要了解数据的来源。例如,人们常常假定这些数据是来自某个总体的“随机样本”。为了确切地理解这意味着什么,以及它的结果对于将样本数据的性质与整个总体的性质联系起来有什么意义,有必要对概率有一些了解,这就是第三章的主题。本章介绍了概率实验的思想,解释了事件概率的概念,并给出了概率的公理。

我们在第四章继续研究概率,它处理随机变量和期望的重要概念,在第五章,考虑一些在应用中经常发生的特殊类型的随机变量。给出了二项式、泊松、超几何、正规、均匀、伽玛、卡方、t和F等随机变量。

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课程内容:

  • 数学基础:矩阵、向量、Lp范数、范数的几何、对称性、正确定性、特征分解。无约束最优化,graident下降法,凸函数,拉格朗日乘子,线性最小二乘法。概率空间,随机变量,联合分布,多维高斯。

  • 线性分类器:线性判别分析,分离超平面,多类分类,贝叶斯决策规则,贝叶斯决策规则几何,线性回归,逻辑回归,感知机算法,支持向量机,非线性变换。

  • 鲁棒性:对抗性攻击、定向攻击和非定向攻击、最小距离攻击、最大允许攻击、基于规则的攻击。通过纳微扰。支持向量机的鲁棒性。

  • 学习理论:偏差和方差,训练和测试,泛化,PAC框架,Hoeffding不等式,VC维。

参考书籍:

  • Pattern Classification, by Duda, Hart and Stork, Wiley-Interscience; 2 edition, 2000.
  • Learning from Data, by Abu-Mostafa, Magdon-Ismail and Lin, AMLBook, 2012.
  • Elements of Statistical Learning, by Hastie, Tibshirani and Friedman, Springer, 2 edition, 2009.
  • Pattern Recognition and Machine Learning, by Bishop, Springer, 2006.

讲者: Stanley Chan 教授 https://engineering.purdue.edu/ChanGroup/stanleychan.html

课程目标: 您将能够应用基本的线性代数、概率和优化工具来解决机器学习问题

•你将了解一般监督学习方法的原理,并能评论它们的优缺点。 •你会知道处理数据不确定性的方法。 •您将能够使用学习理论的概念运行基本的诊断。 •您将获得机器学习算法编程的实际经验。

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